Номер 1217, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1217. Найти все значения $a$, при которых имеет корни уравнение $\sin^6 x + \cos^6 x = a$.

Задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $\sin^6 x + \cos^6 x = a$ имеет хотя бы один корень. Это равносильно нахождению множества значений (области значений) функции $f(x) = \sin^6 x + \cos^6 x$.

Для нахождения этого множества преобразуем выражение $\sin^6 x + \cos^6 x$. Воспользуемся формулой суммы кубов $u^3 + v^3 = (u+v)(u^2-uv+v^2)$, положив $u = \sin^2 x$ и $v = \cos^2 x$. Учитывая основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x + \cos^2 x)((\sin^2 x)^2 - \sin^2 x \cos^2 x + (\cos^2 x)^2) = 1 \cdot (\sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x)$.

Теперь преобразуем сумму $\sin^4 x + \cos^4 x$, выделив полный квадрат: $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$.

Подставим это обратно в выражение для $f(x)$: $f(x) = (1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x) - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$.

Для дальнейшего упрощения используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$. Возведя её в квадрат, получим $\sin^2(2x) = 4 \sin^2 x \cos^2 x$, откуда следует, что $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$. Тогда функция $f(x)$ принимает вид: $f(x) = 1 - 3 \cdot \frac{1}{4}\sin^2(2x) = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$.

Теперь найдём область значений функции $f(x)$. Область значений $\sin(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений для $\sin^2(2x)$ — это отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le \sin^2(2x) \le 1$. Выполним преобразования с этим неравенством:
1. Умножим на $-\frac{3}{4}$ (знаки неравенства изменятся): $0 \ge -\frac{3}{4}\sin^2(2x) \ge -\frac{3}{4}$.
2. Прибавим 1 ко всем частям: $1 + 0 \ge 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x) \ge 1 - \frac{3}{4}$.
$1 \ge f(x) \ge \frac{1}{4}$.

Таким образом, область значений функции $f(x) = \sin^6 x + \cos^6 x$ есть отрезок $[\frac{1}{4}, 1]$. Уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда правая часть $a$ принадлежит этому отрезку.

Ответ: $a \in [\frac{1}{4}, 1]$.