Номер 1223, страница 351 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1223. 1) $\sin x > \frac{1}{2}$;

2) $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\sin x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

4) $\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1)

Для решения неравенства $\sin x > \frac{1}{2}$ сначала рассмотрим соответствующее уравнение $\sin x = \frac{1}{2}$. Корни этого уравнения на единичной окружности соответствуют точкам с ординатой $\frac{1}{2}$. Такими углами являются $x_1 = \frac{\pi}{6}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Неравенству $\sin x > \frac{1}{2}$ удовлетворяют все точки единичной окружности, лежащие выше прямой $y = \frac{1}{2}$. Это дуга, заключенная между точками $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$ при движении против часовой стрелки. Таким образом, на одном периоде решение представляет собой интервал $(\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})$. Учитывая, что период функции синус равен $2\pi$, общее решение неравенства записывается как $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2)

Решим неравенство $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$. Сначала найдем корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. На единичной окружности это точки с ординатой $\frac{\sqrt{2}}{2}$, что соответствует углам $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Неравенству $\sin x \le \frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют точки единичной окружности, лежащие на прямой $y=\frac{\sqrt{2}}{2}$ или ниже нее. Это большая дуга окружности. Чтобы записать решение в виде одного промежутка, удобно выбрать в качестве начальной точки угол $-\frac{5\pi}{4}$ (он соответствует той же точке, что и $\frac{3\pi}{4}$, так как $-\frac{5\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} - 2\pi$) и конечной точки угол $\frac{\pi}{4}$. Таким образом, решение на одном промежутке — это отрезок $[-\frac{5\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$. С учетом периодичности функции синус, общее решение: $-\frac{5\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{5\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

3)

Решим неравенство $\sin x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Найдем корни уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. На единичной окружности это точки с ординатой $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим точкам соответствуют углы $x_1 = -\frac{\pi}{4}$ и $x_2 = -\pi - (-\frac{\pi}{4}) = -\frac{3\pi}{4}$. Неравенству $\sin x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$ удовлетворяют точки единичной окружности, лежащие на прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ или ниже нее. Эта дуга окружности заключена между точками $-\frac{3\pi}{4}$ и $-\frac{\pi}{4}$ при движении против часовой стрелки. Решение на одном промежутке — это отрезок $[-\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}]$. Общее решение, учитывая период $2\pi$, имеет вид: $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le x \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

4)

Решим неравенство $\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Сначала найдем корни уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. На единичной окружности это точки с ординатой $-\frac{\sqrt{3}}{2}$, что соответствует углам $x_1 = -\frac{\pi}{3}$ и $x_2 = -\pi - (-\frac{\pi}{3}) = -\frac{2\pi}{3}$. Неравенству $\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ удовлетворяют точки единичной окружности, лежащие выше прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это большая дуга окружности. При движении против часовой стрелки она начинается в точке, соответствующей углу $-\frac{\pi}{3}$, и заканчивается в точке, соответствующей углу $\frac{4\pi}{3}$ (который равен $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi$). Таким образом, решение на одном промежутке — это интервал $(-\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$. Общее решение с учетом периодичности: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{4\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.