Номер 1227, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1227. 1) $ \sin^2 x + 2\sin x > 0 $

2) $ \cos^2 x - \cos x \le 0 $

3) $ 2\sin^2 x - \sin x - 3 < 0 $

4) $ 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 > 0 $

1) $\sin^2 x + 2\sin x > 0$

Это тригонометрическое неравенство, которое можно свести к квадратному. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус от -1 до 1, то $-1 \le t \le 1$.

Исходное неравенство принимает вид:

$t^2 + 2t > 0$

Вынесем $t$ за скобки:

$t(t+2) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $t(t+2)=0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = -2$.

Парабола $y = t^2 + 2t$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < -2$ или $t > 0$. То есть, $t \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$.

Теперь учтем ограничение на $t$: $-1 \le t \le 1$. Найдем пересечение множеств $(-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$ и $[-1; 1]$.

Пересечение дает интервал $(0; 1]$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$0 < \sin x \le 1$

Неравенство $\sin x \le 1$ выполняется для всех $x$. Остается решить неравенство $\sin x > 0$.

Используя единичную окружность или график функции $y=\sin x$, находим, что синус положителен в первой и второй координатных четвертях.

Это соответствует интервалу $(0; \pi)$. Учитывая периодичность функции синус (период $2\pi$), получаем общее решение.

Ответ: $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos^2 x - \cos x \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - t \le 0$

$t(t-1) \le 0$

Корни соответствующего уравнения $t(t-1)=0$ равны $t_1=0$ и $t_2=1$. Парабола $y = t^2 - t$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями, включая их: $0 \le t \le 1$.

Данный интервал $[0; 1]$ полностью входит в область допустимых значений $t \in [-1; 1]$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$0 \le \cos x \le 1$

Неравенство $\cos x \le 1$ выполняется для всех $x$. Остается решить неравенство $\cos x \ge 0$.

Косинус неотрицателен в первой и четвертой координатных четвертях.

Это соответствует интервалу $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Учитывая периодичность функции косинус (период $2\pi$), получаем общее решение.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

3) $2\sin^2 x - \sin x - 3 < 0$

Пусть $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$.

Получаем квадратное неравенство:

$2t^2 - t - 3 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2t^2 - t - 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни: $t_1 = \frac{1-5}{4} = -1$, $t_2 = \frac{1+5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$.

Парабола $y = 2t^2 - t - 3$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-1 < t < 1.5$.

Учитывая ограничение $-1 \le t \le 1$, находим пересечение интервалов $(-1; 1.5)$ и $[-1; 1]$, что дает $-1 < t \le 1$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$-1 < \sin x \le 1$

Неравенство $\sin x \le 1$ верно для всех $x$. Остается решить неравенство $\sin x > -1$.

Функция $\sin x$ принимает значение $-1$ в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, неравенство $\sin x > -1$ выполняется для всех действительных чисел, кроме этих точек.

Ответ: $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $2\cos^2 x - 3\cos x - 2 > 0$

Пусть $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$.

Получаем квадратное неравенство:

$2t^2 - 3t - 2 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2t^2 - 3t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни: $t_1 = \frac{3-5}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$, $t_2 = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Парабола $y = 2t^2 - 3t - 2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < -0.5$ или $t > 2$.

Учитывая ограничение $-1 \le t \le 1$, получаем:

1. $t < -0.5$ и $-1 \le t \le 1 \implies -1 \le t < -0.5$.

2. $t > 2$ и $-1 \le t \le 1 \implies$ решений нет.

Таким образом, условие для $t$ таково: $-1 \le t < -0.5$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$-1 \le \cos x < -0.5$

Неравенство $\cos x \ge -1$ верно для всех $x$. Остается решить неравенство $\cos x < -0.5$.

Найдем значения $x$, для которых $\cos x = -0.5$. Это $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

На единичной окружности значения косинуса, меньшие -0.5, находятся левее вертикальной прямой $x = -0.5$.

Это соответствует дуге от $\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{4\pi}{3}$.

Учитывая периодичность, получаем общее решение.

Ответ: $x \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.