Номер 1221, страница 351 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить неравенство (1221–1228).

1221. 1) $\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$; 2) $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$; 3) $\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$; 4) $\cos x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

1) Решим неравенство $cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сначала решим соответствующее уравнение $cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корни этого уравнения: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$, то есть $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Отметим эти точки на единичной окружности. Это точки, соответствующие углам $\frac{\pi}{4}$ и $-\frac{\pi}{4}$.
Неравенству $cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса (косинус) которых больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки лежат на дуге окружности, расположенной правее прямой $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, решением неравенства на промежутке $[-\pi, \pi]$ является интервал $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$.
Учитывая периодичность функции косинуса (период $2\pi$), общее решение неравенства записывается в виде серии интервалов.
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сначала решим соответствующее уравнение $cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Корни этого уравнения: $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$, то есть $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Отметим эти точки на единичной окружности. Это точки, соответствующие углам $\frac{\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{6}$.
Неравенству $cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти точки лежат на дуге окружности, расположенной левее прямой $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Двигаясь по окружности против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $\frac{\pi}{6}$ и заканчивается в точке $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.
Таким образом, решением неравенства на промежутке $[0, 2\pi]$ является интервал $(\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6})$.
Учитывая периодичность, общее решение неравенства записывается в виде серии интервалов.
Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим неравенство $cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Сначала решим соответствующее уравнение $cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Корни этого уравнения: $x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k$.
Так как $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, то $x = \pm (\pi - \frac{\pi}{6}) + 2\pi k = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Отметим эти точки на единичной окружности. Это точки, соответствующие углам $\frac{5\pi}{6}$ и $-\frac{5\pi}{6}$.
Неравенству $cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых больше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Эти точки лежат на дуге окружности, расположенной правее прямой $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Эта дуга заключена между углами $-\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.
Учитывая периодичность, общее решение неравенства записывается в виде серии интервалов.
Ответ: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим неравенство $cos x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Сначала решим соответствующее уравнение $cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Корни этого уравнения: $x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k$.
Так как $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$, то $x = \pm (\pi - \frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Отметим эти точки на единичной окружности. Это точки, соответствующие углам $\frac{3\pi}{4}$ и $-\frac{3\pi}{4}$ (или $\frac{5\pi}{4}$).
Неравенству $cos x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$ соответствуют точки на единичной окружности, абсцисса которых меньше или равна $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти точки лежат на дуге окружности, расположенной левее прямой $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, включая концы дуги.
Двигаясь по окружности против часовой стрелки, эта дуга начинается в точке $\frac{3\pi}{4}$ и заканчивается в точке $\frac{5\pi}{4}$.
Учитывая периодичность, общее решение неравенства записывается в виде серии отрезков.
Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.