Номер 1226, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1226. 1) $\cos\left(\frac{x}{3} + 2\right) \ge \frac{1}{2};$

2) $\sin\left(\frac{x}{4} - 3\right) < -\frac{\sqrt{2}}{2}.$

1) $\cos(\frac{x}{3} + 2) \ge \frac{1}{2}$

Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{3} + 2$. Тогда исходное неравенство принимает вид:

$\cos(t) \ge \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое неравенство. Решением неравенства $\cos(t) \ge a$ является совокупность промежутков $t \in [-\arccos(a) + 2\pi k, \arccos(a) + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $a = \frac{1}{2}$ имеем $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, решение для $t$ имеет вид:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $t = \frac{x}{3} + 2$:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{x}{3} + 2 \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, сначала вычтем 2 из всех частей двойного неравенства:

$-\frac{\pi}{3} - 2 + 2\pi k \le \frac{x}{3} \le \frac{\pi}{3} - 2 + 2\pi k$

Затем умножим все части неравенства на 3:

$3(-\frac{\pi}{3} - 2 + 2\pi k) \le x \le 3(\frac{\pi}{3} - 2 + 2\pi k)$

$-\pi - 6 + 6\pi k \le x \le \pi - 6 + 6\pi k$

Ответ: $x \in [-\pi - 6 + 6\pi k; \pi - 6 + 6\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin(\frac{x}{4} - 3) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Введем замену переменной. Пусть $u = \frac{x}{4} - 3$. Тогда исходное неравенство принимает вид:

$\sin(u) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое неравенство. Решением неравенства $\sin(u) < a$ является совокупность промежутков $u \in (\pi - \arcsin(a) + 2\pi k, 2\pi + \arcsin(a) + 2\pi k)$. Удобнее использовать другой эквивалентный интервал: $u \in (-\pi - \arcsin(a) + 2\pi k, \arcsin(a) + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеем $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляя это значение, получаем решение для $u$:

$-\pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k < u < -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$-\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k < u < -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < u < -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $u = \frac{x}{4} - 3$:

$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < \frac{x}{4} - 3 < -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, сначала прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства:

$-\frac{3\pi}{4} + 3 + 2\pi k < \frac{x}{4} < -\frac{\pi}{4} + 3 + 2\pi k$

Затем умножим все части неравенства на 4:

$4(-\frac{3\pi}{4} + 3 + 2\pi k) < x < 4(-\frac{\pi}{4} + 3 + 2\pi k)$

$-3\pi + 12 + 8\pi k < x < -\pi + 12 + 8\pi k$

Ответ: $x \in (-3\pi + 12 + 8\pi k; -\pi + 12 + 8\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.