Номер 1230, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (1230–1240).

1230. 1) $cos(4 - 2x) = -\frac{1}{2}$;

2) $cos(6 + 3x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\sqrt{2}cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0$;

4) $2cos\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right) - \sqrt{3} = 0$.

1) $ \cos(4-2x)=-\frac{1}{2} $

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \cos(t) = a $. Общее решение для него записывается в виде $ t = \pm\arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in Z $.

В данном уравнении $ t = 4 - 2x $, а $ a = -\frac{1}{2} $.

Найдем значение арккосинуса: $ \arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.

Подставим это значение в формулу общего решения:

$ 4 - 2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z $

Теперь выразим $ x $ из этого уравнения. Сначала выразим $ 2x $:

$ -2x = -4 \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n $

Умножим обе части уравнения на -1:

$ 2x = 4 \mp\frac{2\pi}{3} - 2\pi n $

Так как $ n $ является любым целым числом, то $ -n $ также является любым целым числом. Поэтому мы можем заменить $ -2\pi n $ на $ +2\pi k $, где $ k \in Z $. Знак $ \mp $ можно заменить на $ \pm $, так как оба знака обозначают два различных семейства решений.

$ 2x = 4 \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z $

Разделим обе части на 2:

$ x = 2 \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z $

Ответ: $ x = 2 \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z $.

2) $ \cos(6+3x)=-\frac{\sqrt{2}}{2} $

Это уравнение вида $ \cos(t) = a $, где $ t = 6 + 3x $ и $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Общее решение: $ t = \pm\arccos(a) + 2\pi n, n \in Z $.

Найдем значение арккосинуса: $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.

Подставим в формулу:

$ 6 + 3x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z $

Выразим $ x $:

$ 3x = -6 \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n $

Разделим обе части на 3:

$ x = -\frac{6}{3} \pm\frac{3\pi}{4 \cdot 3} + \frac{2\pi n}{3} $

$ x = -2 \pm\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z $

Ответ: $ x = -2 \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z $.

3) $ \sqrt{2}\cos(2x+\frac{\pi}{4})+1=0 $

Сначала преобразуем уравнение, выразив $ \cos(2x+\frac{\pi}{4}) $:

$ \sqrt{2}\cos(2x+\frac{\pi}{4}) = -1 $

$ \cos(2x+\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Получили уравнение вида $ \cos(t) = a $, где $ t = 2x + \frac{\pi}{4} $ и $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Из предыдущего примера мы знаем, что $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4} $.

Запишем общее решение:

$ 2x + \frac{\pi}{4} = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z $

Выразим $ 2x $:

$ 2x = -\frac{\pi}{4} \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n $

Разобьем решение на два случая:

Случай 1 (знак "+"):

$ 2x = -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $

Случай 2 (знак "-"):

$ 2x = -\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{4\pi}{4} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n $

$ x = -\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $

Таким образом, уравнение имеет две серии решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n; x = -\frac{\pi}{2} + \pi k, n, k \in Z $.

4) $ 2\cos(\frac{\pi}{3}-3x)-\sqrt{3}=0 $

Преобразуем уравнение, чтобы выразить косинус:

$ 2\cos(\frac{\pi}{3}-3x) = \sqrt{3} $

$ \cos(\frac{\pi}{3}-3x) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Воспользуемся свойством четности функции косинус $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $, чтобы упростить выражение в аргументе:

$ \cos(3x-\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Это уравнение вида $ \cos(t) = a $, где $ t = 3x - \frac{\pi}{3} $ и $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Найдем значение арккосинуса: $ \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6} $.

Общее решение:

$ 3x - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z $

Выразим $ 3x $:

$ 3x = \frac{\pi}{3} \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n $

Рассмотрим два случая:

Случай 1 (знак "+"):

$ 3x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z $

Случай 2 (знак "-"):

$ 3x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z $

Получили две серии решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}, n, k \in Z $.