Номер 1236, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1236. 1) $\text{tg}^2 x + 3\text{tg} x = 0$;

2) $2\text{tg}^2 x - \text{tg} x - 3 = 0$;

3) $\text{tg} x - 12\text{ctg} x + 1 = 0$;

4) $\text{tg} x + \text{ctg} x = 2$.

1) $tg^2 x + 3tg x = 0$

Данное уравнение является неполным квадратным уравнением относительно $tg x$. Для его решения вынесем общий множитель $tg x$ за скобки:

$tg x (tg x + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

а) $tg x = 0$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $tg x + 3 = 0$

$tg x = -3$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = arctg(-3) + \pi k$. Используя свойство нечетности арктангенса ($arctg(-a) = -arctg(a)$), получаем: $x = -arctg(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -arctg(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2tg^2 x - tg x - 3 = 0$

Это уравнение является полным квадратным уравнением относительно $tg x$. Введем замену переменной: пусть $t = tg x$. Уравнение примет вид:

$2t^2 - t - 3 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Теперь выполним обратную замену:

а) $tg x = \frac{3}{2}$

Решение: $x = arctg(\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $tg x = -1$

Решение: $x = arctg(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = arctg(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $tg x - 12ctg x + 1 = 0$

В этом уравнении присутствуют и тангенс, и котангенс. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим эти функции: $ctg x = \frac{1}{tg x}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями существования тангенса и котангенса, а также тем, что знаменатель не должен быть равен нулю. Следовательно, $cos x \neq 0$ и $sin x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого $k \in \mathbb{Z}$. Это также означает, что $tg x \neq 0$.

Подставим $ctg x = \frac{1}{tg x}$ в исходное уравнение:

$tg x - \frac{12}{tg x} + 1 = 0$

Введем замену $t = tg x$ (с учетом ОДЗ, $t \neq 0$):

$t - \frac{12}{t} + 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на $t$, чтобы избавиться от знаменателя:

$t^2 - 12 + t = 0$

Запишем в стандартном виде: $t^2 + t - 12 = 0$.

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета. Ищем два корня, произведение которых равно $-12$, а сумма равна $-1$. Этими числами являются $3$ и $-4$.

$t_1 = 3$, $t_2 = -4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 0$. Выполним обратную замену:

а) $tg x = 3$

Решение: $x = arctg(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $tg x = -4$

Решение: $x = arctg(-4) + \pi k = -arctg(4) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = arctg(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -arctg(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $tg x + ctg x = 2$

Как и в предыдущем задании, используем тождество $ctg x = \frac{1}{tg x}$. ОДЗ остается прежней: $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим тождество в уравнение:

$tg x + \frac{1}{tg x} = 2$

Сделаем замену $t = tg x$, где $t \neq 0$:

$t + \frac{1}{t} = 2$

Умножим обе части уравнения на $t$:

$t^2 + 1 = 2t$

Перенесем все члены в одну сторону:

$t^2 - 2t + 1 = 0$

Полученное выражение является полным квадратом разности:

$(t-1)^2 = 0$

Отсюда следует, что $t-1=0$, то есть $t=1$.

Выполним обратную замену:

$tg x = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, решением которого является серия корней $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Данное решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.