Номер 1243, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (1243—1249).

1243.

1) $ \sin 2x + 2\cos 2x = 1; $

2) $ \cos 2x + 3\sin 2x = 3. $

1) Решим уравнение $\sin(2x) + 2\cos(2x) = 1$.

Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой, выразив $\sin(2x)$ и $\cos(2x)$ через тангенс угла $x$. Формулы имеют вид:

$\sin(2x) = \frac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)}$

$\cos(2x) = \frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}$

Данная подстановка применима, если $2x \neq \pi + 2\pi k$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Проверим, являются ли эти значения $x$ корнями исходного уравнения. Если $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то $2x = \pi + 2\pi k$. Тогда $\sin(2x) = 0$ и $\cos(2x) = -1$. Подставив в уравнение, получим: $0 + 2(-1) = 1$, что приводит к неверному равенству $-2 = 1$. Следовательно, значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ не являются решениями.

Подставим формулы в уравнение:

$\frac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)} + 2\frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)} = 1$

Умножим обе части на знаменатель $1+\tan^2(x)$, который не равен нулю:

$2\tan(x) + 2(1-\tan^2(x)) = 1+\tan^2(x)$

$2\tan(x) + 2 - 2\tan^2(x) = 1 + \tan^2(x)$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:

$3\tan^2(x) - 2\tan(x) - 1 = 0$

Сделаем замену $y = \tan(x)$, чтобы получить квадратное уравнение:

$3y^2 - 2y - 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm 4}{6}$

Получаем два корня:

$y_1 = \frac{2+4}{6} = 1$

$y_2 = \frac{2-4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь выполним обратную замену:

1. Если $\tan(x) = 1$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\tan(x) = -\frac{1}{3}$, то $x = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi k = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\cos(2x) + 3\sin(2x) = 3$.

Как и в предыдущем задании, воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой $t = \tan(x)$.

$\cos(2x) = \frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}$, $\sin(2x) = \frac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)}$

Проверим, не теряются ли корни $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$). При подстановке этих значений в исходное уравнение получаем $\cos(\pi + 2\pi k) + 3\sin(\pi + 2\pi k) = -1 + 3 \cdot 0 = -1$. Так как $-1 \neq 3$, эти значения не являются корнями, и подстановка является правомерной.

Подставим формулы в уравнение:

$\frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)} + 3\frac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)} = 3$

Умножим обе части уравнения на $1+\tan^2(x)$:

$1-\tan^2(x) + 6\tan(x) = 3(1+\tan^2(x))$

$1-\tan^2(x) + 6\tan(x) = 3 + 3\tan^2(x)$

Соберем все члены в одной части уравнения:

$3\tan^2(x) + \tan^2(x) - 6\tan(x) + 3 - 1 = 0$

$4\tan^2(x) - 6\tan(x) + 2 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$2\tan^2(x) - 3\tan(x) + 1 = 0$

Сделаем замену $y = \tan(x)$:

$2y^2 - 3y + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

$y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4}$

Корни:

$y_1 = \frac{3+1}{4} = 1$

$y_2 = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Выполним обратную замену:

1. Если $\tan(x) = 1$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\tan(x) = \frac{1}{2}$, то $x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.