Номер 1248, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1248.

1) $\sin^2 x - \cos x \cos 3x = \frac{1}{4}$;

2) $\sin 3x = 3\sin x$;

3) $3\cos 2x - 7\sin x = 4$;

4) $1 + \cos x + \cos 2x = 0$.

1) Исходное уравнение: $ \sin^2 x - \cos x \cos 3x = \frac{1}{4} $.
Воспользуемся формулой понижения степени $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} $ и формулой преобразования произведения в сумму $ \cos x \cos 3x = \frac{1}{2}(\cos(x+3x) + \cos(x-3x)) = \frac{1}{2}(\cos(4x) + \cos(2x)) $.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$ \frac{1 - \cos(2x)}{2} - \frac{\cos(4x) + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4} $
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дробей:
$ 2(1 - \cos(2x)) - 2(\cos(4x) + \cos(2x)) = 1 $
$ 2 - 2\cos(2x) - 2\cos(4x) - 2\cos(2x) = 1 $
$ 2 - 4\cos(2x) - 2\cos(4x) = 1 $
Теперь используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 $:
$ 2 - 4\cos(2x) - 2(2\cos^2(2x) - 1) = 1 $
$ 2 - 4\cos(2x) - 4\cos^2(2x) + 2 = 1 $
$ 4 - 4\cos(2x) - 4\cos^2(2x) = 1 $
Приведем к стандартному квадратному виду:
$ 4\cos^2(2x) + 4\cos(2x) - 3 = 0 $
Сделаем замену $ t = \cos(2x) $, где $ |t| \le 1 $:
$ 4t^2 + 4t - 3 = 0 $
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$ D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 $
$ t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 8}{8} $
$ t_1 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $
$ t_2 = \frac{-4 - 8}{8} = -\frac{12}{8} = -\frac{3}{2} $
Корень $ t_2 = -3/2 $ не удовлетворяет условию $ |t| \le 1 $, поэтому он является посторонним.
Возвращаемся к замене: $ \cos(2x) = \frac{1}{2} $.
$ 2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) Исходное уравнение: $ \sin(3x) = 3\sin x $.
Используем формулу синуса тройного угла $ \sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x $.
Подставим ее в уравнение:
$ 3\sin x - 4\sin^3 x = 3\sin x $
Вычтем $ 3\sin x $ из обеих частей:
$ -4\sin^3 x = 0 $
$ \sin^3 x = 0 $
$ \sin x = 0 $
Решением этого уравнения является:
$ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

3) Исходное уравнение: $ 3\cos(2x) - 7\sin x = 4 $.
Используем формулу косинуса двойного угла, выраженную через синус: $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $.
Подставим в уравнение:
$ 3(1 - 2\sin^2 x) - 7\sin x = 4 $
$ 3 - 6\sin^2 x - 7\sin x = 4 $
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $ \sin x $:
$ 6\sin^2 x + 7\sin x + 1 = 0 $
Сделаем замену $ t = \sin x $, где $ |t| \le 1 $:
$ 6t^2 + 7t + 1 = 0 $
Решим квадратное уравнение:
$ D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25 $
$ t_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 \pm 5}{12} $
$ t_1 = \frac{-7 - 5}{12} = \frac{-12}{12} = -1 $
$ t_2 = \frac{-7 + 5}{12} = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6} $
Оба корня удовлетворяют условию $ |t| \le 1 $. Возвращаемся к замене.
1. $ \sin x = -1 $
$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
2. $ \sin x = -\frac{1}{6} $
$ x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Так как $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $, можно записать: $ x = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = (-1)^{n+1} \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

4) Исходное уравнение: $ 1 + \cos x + \cos(2x) = 0 $.
Используем формулу косинуса двойного угла, выраженную через косинус: $ \cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 $.
Подставим в уравнение:
$ 1 + \cos x + (2\cos^2 x - 1) = 0 $
$ \cos x + 2\cos^2 x = 0 $
Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:
$ \cos x (1 + 2\cos x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1. $ \cos x = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $
2. $ 1 + 2\cos x = 0 $
$ 2\cos x = -1 $
$ \cos x = -\frac{1}{2} $
$ x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $
$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $.