Номер 1244, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1244. 1) $1 + 2\sin x = \sin 2x + 2\cos x$;

2) $1 + 3\cos x = \sin 2x + 3\sin x$.

1) $1 + 2\sin x = \sin 2x + 2\cos x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$1 + 2\sin x - \sin 2x - 2\cos x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$1 + 2\sin x - 2\sin x \cos x - 2\cos x = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители. Переставим члены и сгруппируем их следующим образом:

$(2\sin x - 2\cos x) + (1 - 2\sin x \cos x) = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$. Тогда выражение в скобках $1 - 2\sin x \cos x$ можно представить как квадрат разности:

$1 - 2\sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2$

Подставим это обратно в уравнение:

$2(\sin x - \cos x) + (\sin x - \cos x)^2 = 0$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(\sin x - \cos x)$ за скобки:

$(\sin x - \cos x)(2 + (\sin x - \cos x)) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

а) $\sin x - \cos x = 0$

б) $2 + \sin x - \cos x = 0$

Решим первое уравнение (а):

$\sin x = \cos x$

Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. В этих точках $\sin x = \pm 1$, поэтому равенство $\sin x = \cos x$ не выполняется. Значит, можно разделить обе части на $\cos x \neq 0$:

$\tan x = 1$

Отсюда находим корни: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение (б):

$\sin x - \cos x = -2$

Для решения этого уравнения используем метод введения вспомогательного угла. Максимальное значение выражения $\sin x - \cos x$ равно $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, выражение $\sin x - \cos x$ не может быть равно $-2$. Более формально:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = -2$

$\sqrt{2}(\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4}) = -2$

$\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -2$

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$

Так как область значений функции синус $[-1, 1]$, а $-\sqrt{2} < -1$, это уравнение не имеет решений.

Таким образом, единственными решениями исходного уравнения являются решения уравнения (а).

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $1 + 3\cos x = \sin 2x + 3\sin x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$1 + 3\cos x - \sin 2x - 3\sin x = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$1 + 3\cos x - 2\sin x \cos x - 3\sin x = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(3\cos x - 3\sin x) + (1 - 2\sin x \cos x) = 0$

Как и в предыдущей задаче, заменим $1 - 2\sin x \cos x$ на $(\cos x - \sin x)^2$:

$3(\cos x - \sin x) + (\cos x - \sin x)^2 = 0$

Вынесем общий множитель $(\cos x - \sin x)$ за скобки:

$(\cos x - \sin x)(3 + (\cos x - \sin x)) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $\cos x - \sin x = 0$

б) $3 + \cos x - \sin x = 0$

Решим первое уравнение (а):

$\cos x = \sin x$

Разделив на $\cos x \neq 0$, получаем:

$\tan x = 1$

Корни этого уравнения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение (б):

$\cos x - \sin x = -3$

Используем метод вспомогательного угла. Максимальное значение выражения $\cos x - \sin x$ равно $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$. Поскольку $-3 < -\sqrt{2}$, это уравнение не имеет решений. Покажем это формально:

$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = -3$

$\sqrt{2}(\cos x \cos\frac{\pi}{4} - \sin x \sin\frac{\pi}{4}) = -3$

$\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4}) = -3$

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{3}{\sqrt{2}}$

Так как область значений функции косинус $[-1, 1]$, а $-\frac{3}{\sqrt{2}} < -1$, данное уравнение решений не имеет.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются только решения уравнения (а).

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.