Номер 1246, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1246. 1) $\cos^3 x \sin x - \sin^3 x \cos x = \frac{1}{4}$

2) $\sin^3 x \cos x + \cos^3 x \sin x = \frac{1}{4}$

1) Решим уравнение $\cos^3 x \sin x - \sin^3 x \cos x = \frac{1}{4}$.

Вынесем общий множитель $\sin x \cos x$ за скобки в левой части уравнения:

$\sin x \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x) = \frac{1}{4}$

Воспользуемся формулами двойного угла:

$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$, откуда $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$.

$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Подставим эти выражения в наше уравнение:

$\frac{1}{2} \sin(2x) \cdot \cos(2x) = \frac{1}{4}$

Снова применим формулу синуса двойного угла для выражения $\sin(2x) \cos(2x)$. Из формулы $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 2x$.

$\sin(2x) \cos(2x) = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 2x) = \frac{1}{2} \sin(4x)$.

Подставим это обратно в уравнение:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin(4x) = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{4} \sin(4x) = \frac{1}{4}$

$\sin(4x) = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:

$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi n}{4}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\sin^3 x \cos x + \cos^3 x \sin x = \frac{1}{4}$.

Вынесем общий множитель $\sin x \cos x$ за скобки в левой части уравнения:

$\sin x \cos x (\sin^2 x + \cos^2 x) = \frac{1}{4}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$, из которой следует, что $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$\frac{1}{2} \sin(2x) \cdot 1 = \frac{1}{4}$

$\frac{1}{2} \sin(2x) = \frac{1}{4}$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\sin(2x) = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\sin(\alpha) = a$ записывается как $\alpha = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $a = \frac{1}{2}$. Знаем, что $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Получаем:

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.