Номер 1240, страница 353 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1240. 1) $\cos^2 3x - \cos 3x \cos 5x = 0$;

2) $\sin x \sin 5x - \sin^2 5x = 0$.

1) Решим уравнение $ \cos^2{3x} - \cos{3x}\cos{5x} = 0 $.

Вынесем общий множитель $ \cos{3x} $ за скобки:

$ \cos{3x}(\cos{3x} - \cos{5x}) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

А) $ \cos{3x} = 0 $

Б) $ \cos{3x} - \cos{5x} = 0 $

Решим уравнение А):

$ \cos{3x} = 0 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Его решения имеют вид:

$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Разделив на 3, получаем первую серию корней:

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Решим уравнение Б):

$ \cos{3x} - \cos{5x} = 0 \implies \cos{3x} = \cos{5x} $

Равенство косинусов $ \cos\alpha = \cos\beta $ выполняется, если $ \alpha = \pm\beta + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $. Применим это к нашему уравнению:

$ 3x = 5x + 2\pi k \quad $ или $ \quad 3x = -5x + 2\pi k $

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1) $ 3x = 5x + 2\pi k $

$ -2x = 2\pi k $

$ x = -\pi k $. Поскольку $k$ - любое целое число, это эквивалентно $ x = \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

2) $ 3x = -5x + 2\pi k $

$ 8x = 2\pi k $

$ x = \frac{2\pi k}{8} = \frac{\pi k}{4}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Заметим, что серия решений $ x = \pi k $ является подмножеством серии $ x = \frac{\pi k}{4} $ (получается при значениях $k$, кратных 4). Следовательно, из этих двух серий достаточно оставить только $ x = \frac{\pi k}{4} $.

Объединяем все найденные решения.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $

2) Решим уравнение $ \sin{x}\sin{5x} - \sin^2{5x} = 0 $.

Вынесем общий множитель $ \sin{5x} $ за скобки:

$ \sin{5x}(\sin{x} - \sin{5x}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

А) $ \sin{5x} = 0 $

Б) $ \sin{x} - \sin{5x} = 0 $

Решим уравнение А):

$ \sin{5x} = 0 $

Это частный случай решения тригонометрического уравнения:

$ 5x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Отсюда получаем первую серию корней:

$ x = \frac{\pi n}{5}, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $

Решим уравнение Б):

$ \sin{x} - \sin{5x} = 0 \implies \sin{x} = \sin{5x} $

Равенство синусов $ \sin\alpha = \sin\beta $ выполняется, если $ \alpha = \beta + 2\pi k $ или $ \alpha = \pi - \beta + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $. Применим это к нашему уравнению:

$ x = 5x + 2\pi k \quad $ или $ \quad x = \pi - 5x + 2\pi k $

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1) $ x = 5x + 2\pi k $

$ -4x = 2\pi k $

$ x = -\frac{\pi k}{2} $. Поскольку $k$ - любое целое число, это эквивалентно $ x = \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

2) $ x = \pi - 5x + 2\pi k $

$ 6x = \pi + 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{6} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.

Объединяем все три найденные серии решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z} $