Номер 1233, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1233. 1) $ \text{tg}\left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) = -1; $

2) $ \text{tg}\left( 3x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}}; $

3) $ \sqrt{3} - \text{tg}\left( x - \frac{\pi}{5} \right) = 0; $

4) $ 1 - \text{tg}\left( x + \frac{\pi}{7} \right) = 0. $

1)

Дано уравнение: $\tg(2x + \frac{\pi}{4}) = -1$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\tg(A) = a$. Его решение находится по формуле $A = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $A = 2x + \frac{\pi}{4}$ и $a = -1$.

Подставляем значения в формулу:

$2x + \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg}(-1) + \pi n$

Поскольку $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:

$2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения:

$2x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n$

$2x = -\frac{2\pi}{4} + \pi n$

$2x = -\frac{\pi}{2} + \pi n$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение: $\tg(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Используем общую формулу для решения уравнений с тангенсом: $A = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $A = 3x - \frac{\pi}{4}$ и $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставляем значения:

$3x - \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n$

Так как $\operatorname{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Выразим $x$. Перенесем $-\frac{\pi}{4}$ в правую часть:

$3x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$3x = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + \pi n$

$3x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано уравнение: $\sqrt{3} - \tg(x - \frac{\pi}{5}) = 0$.

Сначала преобразуем уравнение к стандартному виду $\tg(A) = a$.

$\tg(x - \frac{\pi}{5}) = \sqrt{3}$

Применяем общую формулу решения $A = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом уравнении $A = x - \frac{\pi}{5}$ и $a = \sqrt{3}$.

Подставляем значения:

$x - \frac{\pi}{5} = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n$

Поскольку $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$x - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Выразим $x$, перенеся $-\frac{\pi}{5}$ в правую часть:

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{5} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$x = \frac{5\pi}{15} + \frac{3\pi}{15} + \pi n$

$x = \frac{8\pi}{15} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{8\pi}{15} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4)

Дано уравнение: $1 - \tg(x + \frac{\pi}{7}) = 0$.

Преобразуем уравнение к стандартному виду:

$\tg(x + \frac{\pi}{7}) = 1$

Используем формулу $A = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $A = x + \frac{\pi}{7}$ и $a = 1$.

Подставляем значения:

$x + \frac{\pi}{7} = \operatorname{arctg}(1) + \pi n$

Так как $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$x + \frac{\pi}{7} = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{7} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 28:

$x = \frac{7\pi}{28} - \frac{4\pi}{28} + \pi n$

$x = \frac{3\pi}{28} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{28} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.