Номер 1232, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1232. 1) $(1 + \sqrt{2}\cos x)(1 - 4\sin x \cos x) = 0;$

2) $(1 - \sqrt{2}\cos x)(1 + 2\sin 2x \cos 2x) = 0.$

1) $(1 + \sqrt{2}\cos x)(1 - 4\sin x \cos x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$1 + \sqrt{2}\cos x = 0$ или $1 - 4\sin x \cos x = 0$.

Решим первое уравнение:

$1 + \sqrt{2}\cos x = 0$

$\sqrt{2}\cos x = -1$

$\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение. Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$1 - 4\sin x \cos x = 0$

$1 - 2(2\sin x \cos x) = 0$

$1 - 2\sin 2x = 0$

$2\sin 2x = 1$

$\sin 2x = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения обоих уравнений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $(1 - \sqrt{2}\cos x)(1 + 2\sin 2x \cos 2x) = 0$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений, так как произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$1 - \sqrt{2}\cos x = 0$ или $1 + 2\sin 2x \cos 2x = 0$.

Рассмотрим первое уравнение:

$1 - \sqrt{2}\cos x = 0$

$\sqrt{2}\cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Корни этого уравнения:

$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим второе уравнение. Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, где в нашем случае $\alpha = 2x$:

$1 + 2\sin 2x \cos 2x = 0$

$1 + \sin(2 \cdot 2x) = 0$

$1 + \sin 4x = 0$

$\sin 4x = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Корни находятся по формуле:

$4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 4:

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя полученные серии корней, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.