Страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1225. 1) $\sqrt{2} \cos 2x \le 1$;

2) $2 \sin 3x > -1$.

1)

Решим неравенство $\sqrt{2}\cos{2x} \le 1$.

Сначала разделим обе части неравенства на $\sqrt{2}$:

$\cos{2x} \le \frac{1}{\sqrt{2}}$

Рационализируем знаменатель в правой части:

$\cos{2x} \le \frac{\sqrt{2}}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x$. Тогда неравенство примет вид:

$\cos{t} \le \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства являются значения $t$, которые на единичной окружности соответствуют точкам с абсциссой, меньшей или равной $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем углы, для которых $\cos{t} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это $t = \frac{\pi}{4}$ и $t = -\frac{\pi}{4}$.

Следовательно, искомые значения $t$ лежат в промежутке от $\frac{\pi}{4}$ до $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

Учитывая периодичность функции косинус (период $2\pi$), общее решение для $t$ будет:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le t \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену $t = 2x$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le 2x \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$

Разделим все части двойного неравенства на 2, чтобы найти $x$:

$\frac{\pi}{8} + \pi k \le x \le \frac{7\pi}{8} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{8} + \pi k; \frac{7\pi}{8} + \pi k], k \in \mathbb{Z}$.

2)

Решим неравенство $2\sin{3x} > -1$.

Разделим обе части неравенства на 2:

$\sin{3x} > -\frac{1}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3x$. Неравенство примет вид:

$\sin{t} > -\frac{1}{2}$

Решением этого неравенства являются значения $t$, которые на единичной окружности соответствуют точкам с ординатой, большей $-\frac{1}{2}$.

Найдем углы, для которых $\sin{t} = -\frac{1}{2}$. Это $t = -\frac{\pi}{6}$ и $t = \pi - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6}$.

Следовательно, искомые значения $t$ лежат в интервале от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$.

Учитывая периодичность функции синус (период $2\pi$), общее решение для $t$ будет:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < t < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $t = 3x$:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < 3x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все части двойного неравенства на 3, чтобы найти $x$:

$-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3} < x < \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}; \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}), k \in \mathbb{Z}$.

1226. 1) $\cos\left(\frac{x}{3} + 2\right) \ge \frac{1}{2};$

2) $\sin\left(\frac{x}{4} - 3\right) < -\frac{\sqrt{2}}{2}.$

1) $\cos(\frac{x}{3} + 2) \ge \frac{1}{2}$

Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{3} + 2$. Тогда исходное неравенство принимает вид:

$\cos(t) \ge \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое неравенство. Решением неравенства $\cos(t) \ge a$ является совокупность промежутков $t \in [-\arccos(a) + 2\pi k, \arccos(a) + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $a = \frac{1}{2}$ имеем $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, решение для $t$ имеет вид:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le t \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $t = \frac{x}{3} + 2$:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{x}{3} + 2 \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, сначала вычтем 2 из всех частей двойного неравенства:

$-\frac{\pi}{3} - 2 + 2\pi k \le \frac{x}{3} \le \frac{\pi}{3} - 2 + 2\pi k$

Затем умножим все части неравенства на 3:

$3(-\frac{\pi}{3} - 2 + 2\pi k) \le x \le 3(\frac{\pi}{3} - 2 + 2\pi k)$

$-\pi - 6 + 6\pi k \le x \le \pi - 6 + 6\pi k$

Ответ: $x \in [-\pi - 6 + 6\pi k; \pi - 6 + 6\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin(\frac{x}{4} - 3) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Введем замену переменной. Пусть $u = \frac{x}{4} - 3$. Тогда исходное неравенство принимает вид:

$\sin(u) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое неравенство. Решением неравенства $\sin(u) < a$ является совокупность промежутков $u \in (\pi - \arcsin(a) + 2\pi k, 2\pi + \arcsin(a) + 2\pi k)$. Удобнее использовать другой эквивалентный интервал: $u \in (-\pi - \arcsin(a) + 2\pi k, \arcsin(a) + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ имеем $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляя это значение, получаем решение для $u$:

$-\pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k < u < -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$-\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k < u < -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < u < -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $u = \frac{x}{4} - 3$:

$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < \frac{x}{4} - 3 < -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$

Чтобы найти $x$, сначала прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства:

$-\frac{3\pi}{4} + 3 + 2\pi k < \frac{x}{4} < -\frac{\pi}{4} + 3 + 2\pi k$

Затем умножим все части неравенства на 4:

$4(-\frac{3\pi}{4} + 3 + 2\pi k) < x < 4(-\frac{\pi}{4} + 3 + 2\pi k)$

$-3\pi + 12 + 8\pi k < x < -\pi + 12 + 8\pi k$

Ответ: $x \in (-3\pi + 12 + 8\pi k; -\pi + 12 + 8\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1227. 1) $ \sin^2 x + 2\sin x > 0 $

2) $ \cos^2 x - \cos x \le 0 $

3) $ 2\sin^2 x - \sin x - 3 < 0 $

4) $ 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 > 0 $

1) $\sin^2 x + 2\sin x > 0$

Это тригонометрическое неравенство, которое можно свести к квадратному. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений функции синус от -1 до 1, то $-1 \le t \le 1$.

Исходное неравенство принимает вид:

$t^2 + 2t > 0$

Вынесем $t$ за скобки:

$t(t+2) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $t(t+2)=0$ равны $t_1 = 0$ и $t_2 = -2$.

Парабола $y = t^2 + 2t$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < -2$ или $t > 0$. То есть, $t \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$.

Теперь учтем ограничение на $t$: $-1 \le t \le 1$. Найдем пересечение множеств $(-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$ и $[-1; 1]$.

Пересечение дает интервал $(0; 1]$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$0 < \sin x \le 1$

Неравенство $\sin x \le 1$ выполняется для всех $x$. Остается решить неравенство $\sin x > 0$.

Используя единичную окружность или график функции $y=\sin x$, находим, что синус положителен в первой и второй координатных четвертях.

Это соответствует интервалу $(0; \pi)$. Учитывая периодичность функции синус (период $2\pi$), получаем общее решение.

Ответ: $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos^2 x - \cos x \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - t \le 0$

$t(t-1) \le 0$

Корни соответствующего уравнения $t(t-1)=0$ равны $t_1=0$ и $t_2=1$. Парабола $y = t^2 - t$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями, включая их: $0 \le t \le 1$.

Данный интервал $[0; 1]$ полностью входит в область допустимых значений $t \in [-1; 1]$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$0 \le \cos x \le 1$

Неравенство $\cos x \le 1$ выполняется для всех $x$. Остается решить неравенство $\cos x \ge 0$.

Косинус неотрицателен в первой и четвертой координатных четвертях.

Это соответствует интервалу $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Учитывая периодичность функции косинус (период $2\pi$), получаем общее решение.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

3) $2\sin^2 x - \sin x - 3 < 0$

Пусть $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$.

Получаем квадратное неравенство:

$2t^2 - t - 3 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2t^2 - t - 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни: $t_1 = \frac{1-5}{4} = -1$, $t_2 = \frac{1+5}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$.

Парабола $y = 2t^2 - t - 3$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-1 < t < 1.5$.

Учитывая ограничение $-1 \le t \le 1$, находим пересечение интервалов $(-1; 1.5)$ и $[-1; 1]$, что дает $-1 < t \le 1$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$-1 < \sin x \le 1$

Неравенство $\sin x \le 1$ верно для всех $x$. Остается решить неравенство $\sin x > -1$.

Функция $\sin x$ принимает значение $-1$ в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, неравенство $\sin x > -1$ выполняется для всех действительных чисел, кроме этих точек.

Ответ: $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $2\cos^2 x - 3\cos x - 2 > 0$

Пусть $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$.

Получаем квадратное неравенство:

$2t^2 - 3t - 2 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2t^2 - 3t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни: $t_1 = \frac{3-5}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$, $t_2 = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Парабола $y = 2t^2 - 3t - 2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < -0.5$ или $t > 2$.

Учитывая ограничение $-1 \le t \le 1$, получаем:

1. $t < -0.5$ и $-1 \le t \le 1 \implies -1 \le t < -0.5$.

2. $t > 2$ и $-1 \le t \le 1 \implies$ решений нет.

Таким образом, условие для $t$ таково: $-1 \le t < -0.5$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$-1 \le \cos x < -0.5$

Неравенство $\cos x \ge -1$ верно для всех $x$. Остается решить неравенство $\cos x < -0.5$.

Найдем значения $x$, для которых $\cos x = -0.5$. Это $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

На единичной окружности значения косинуса, меньшие -0.5, находятся левее вертикальной прямой $x = -0.5$.

Это соответствует дуге от $\frac{2\pi}{3}$ до $\frac{4\pi}{3}$.

Учитывая периодичность, получаем общее решение.

Ответ: $x \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{4\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

1228. 1) $\frac{\sin^2 x - \frac{1}{4}}{\sqrt{3} - (\sin x + \cos x)} > 0;$

2) $\sqrt[4]{\frac{7 - \cos 4x}{2}} > -2\cos x;$

3) $\sqrt[4]{\frac{7 - \cos 4x}{2}} > -2\sin x.$

1)

Дано тригонометрическое неравенство:

$\frac{\sin^2 x - \frac{1}{4}}{\sqrt{3} - (\sin x + \cos x)} > 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:

$\sqrt{3} - (\sin x + \cos x) \ne 0$

Преобразуем выражение в скобках с помощью введения вспомогательного угла:

$\sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$

Область значений функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{4})$ есть отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений выражения $\sin x + \cos x$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732$, а $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{3} > \sqrt{2}$. Это означает, что значение $\sin x + \cos x$ никогда не может быть равным $\sqrt{3}$. Таким образом, знаменатель никогда не обращается в ноль, и ОДЗ — все действительные числа $x$.

Теперь определим знак знаменателя. Так как максимальное значение $\sin x + \cos x$ равно $\sqrt{2}$, то знаменатель $\sqrt{3} - (\sin x + \cos x)$ всегда положителен:

$\sqrt{3} - (\sin x + \cos x) \ge \sqrt{3} - \sqrt{2} > 0$

Поскольку знаменатель дроби всегда положителен, данное неравенство равносильно тому, что числитель положителен:

$\sin^2 x - \frac{1}{4} > 0$

$\sin^2 x > \frac{1}{4}$

Это неравенство распадается на два:

$\sin x > \frac{1}{2}$ или $\sin x < -\frac{1}{2}$

Решим первое неравенство $\sin x > \frac{1}{2}$:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Решим второе неравенство $\sin x < -\frac{1}{2}$:

$\frac{7\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Этот интервал можно также записать как $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n) \cup (\frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано неравенство:

$\sqrt[4]{\frac{7 - \cos 4x}{2}} > -2\cos x$

Левая часть неравенства (корень четной степени) определена и неотрицательна. Проверим ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$\frac{7 - \cos 4x}{2} \ge 0$. Так как $-1 \le \cos 4x \le 1$, то $6 \le 7 - \cos 4x \le 8$. Следовательно, $3 \le \frac{7 - \cos 4x}{2} \le 4$. Выражение под корнем всегда положительно. ОДЗ — все действительные числа $x$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Правая часть отрицательна.

$-2\cos x < 0 \implies \cos x > 0$.

В этом случае левая часть (неотрицательная) всегда больше правой (отрицательной). Неравенство выполняется для всех $x$, удовлетворяющих условию $\cos x > 0$.

Решение для $\cos x > 0$: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: Правая часть неотрицательна.

$-2\cos x \ge 0 \implies \cos x \le 0$.

В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в четвертую степень:

$\frac{7 - \cos 4x}{2} > (-2\cos x)^4$

$\frac{7 - \cos 4x}{2} > 16\cos^4 x$

Используем формулу косинуса четверного угла: $\cos 4x = 2\cos^2(2x) - 1 = 2(2\cos^2 x - 1)^2 - 1 = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1$.

$\frac{7 - (8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1)}{2} > 16\cos^4 x$

$\frac{6 + 8\cos^2 x - 8\cos^4 x}{2} > 16\cos^4 x$

$3 + 4\cos^2 x - 4\cos^4 x > 16\cos^4 x$

$20\cos^4 x - 4\cos^2 x - 3 < 0$

Пусть $t = \cos^2 x$. Так как $\cos x \le 0$, то $t \in [0, 1]$. Неравенство принимает вид:

$20t^2 - 4t - 3 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $20t^2 - 4t - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4(20)(-3) = 16 + 240 = 256 = 16^2$.

$t_{1,2} = \frac{4 \pm 16}{40}$, откуда $t_1 = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{-12}{40} = -\frac{3}{10}$.

Решением неравенства $20t^2 - 4t - 3 < 0$ является интервал $-\frac{3}{10} < t < \frac{1}{2}$.

Учитывая, что $t = \cos^2 x \ge 0$, получаем $0 \le t < \frac{1}{2}$.

$0 \le \cos^2 x < \frac{1}{2} \implies |\cos x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Совмещая с условием случая 2 ($\cos x \le 0$), получаем: $-\frac{1}{\sqrt{2}} < \cos x \le 0$.

Решением этого неравенства является объединение интервалов: $x \in [\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n) \cup (\frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

Общее решение: Объединим решения из обоих случаев.

Из случая 1: $\cos x > 0$.

Из случая 2: $-\frac{1}{\sqrt{2}} < \cos x \le 0$.

Объединяя эти условия, получаем $\cos x > -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Решением неравенства $\cos x > -\frac{1}{\sqrt{2}}$ является интервал $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано неравенство:

$\sqrt[4]{\frac{7 - \cos 4x}{2}} > -2\sin x$

Левая часть неравенства идентична левой части в задаче 2), она всегда определена и неотрицательна. Разобьем решение на два случая в зависимости от знака правой части.

Случай 1: Правая часть отрицательна.

$-2\sin x < 0 \implies \sin x > 0$.

Если $\sin x > 0$, левая часть (неотрицательная) всегда больше правой (отрицательной). Неравенство выполняется.

Решение для $\sin x > 0$: $2\pi n < x < \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: Правая часть неотрицательна.

$-2\sin x \ge 0 \implies \sin x \le 0$.

Обе части неравенства неотрицательны, можно возвести в четвертую степень:

$\frac{7 - \cos 4x}{2} > (-2\sin x)^4$

$\frac{7 - \cos 4x}{2} > 16\sin^4 x$

Используем формулу $\cos 4x = 1 - 2\sin^2(2x) = 1 - 2(2\sin x \cos x)^2 = 1 - 8\sin^2 x(1-\sin^2 x) = 1 - 8\sin^2 x + 8\sin^4 x$.

$\frac{7 - (1 - 8\sin^2 x + 8\sin^4 x)}{2} > 16\sin^4 x$

$\frac{6 + 8\sin^2 x - 8\sin^4 x}{2} > 16\sin^4 x$

$3 + 4\sin^2 x - 4\sin^4 x > 16\sin^4 x$

$20\sin^4 x - 4\sin^2 x - 3 < 0$

Пусть $u = \sin^2 x$. Условие $\sin x \le 0$ означает, что $u \in [0, 1]$. Неравенство принимает вид:

$20u^2 - 4u - 3 < 0$

Это то же самое квадратное неравенство, что и в задаче 2. Его решение: $-\frac{3}{10} < u < \frac{1}{2}$.

Учитывая, что $u = \sin^2 x \ge 0$, получаем $0 \le u < \frac{1}{2}$.

$0 \le \sin^2 x < \frac{1}{2} \implies |\sin x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Совмещая с условием случая 2 ($\sin x \le 0$), получаем: $-\frac{1}{\sqrt{2}} < \sin x \le 0$.

Решением этого неравенства является объединение интервалов: $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, 2\pi n] \cup [\pi + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

Общее решение: Объединим решения из обоих случаев.

Из случая 1: $\sin x > 0$.

Из случая 2: $-\frac{1}{\sqrt{2}} < \sin x \le 0$.

Объединяя эти условия, получаем $\sin x > -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Решением неравенства $\sin x > -\frac{1}{\sqrt{2}}$ является интервал $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \frac{5\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

1229. Вычислить:

1) $2\arcsin{\frac{\sqrt{3}}{2}} + 3\arcsin{\left(-\frac{1}{2}\right)};$

2) $\arcsin{\frac{1}{\sqrt{2}}} - 4\arcsin{1};$

3) $\arccos{\left(-\frac{1}{2}\right)} - \arcsin{\frac{\sqrt{3}}{2}};$

4) $\arccos(-1) - \arcsin(-1).$

1) $2\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + 3\arcsin(-\frac{1}{2})$

Для решения необходимо найти значения арксинусов, используя их определения. Арксинус числа $a$ ($\arcsin a$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

Найдем значение $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$. Синус угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, и этот угол принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Найдем значение $\arcsin(-\frac{1}{2})$. Используем свойство нечетности арксинуса: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin\frac{1}{2}$. Синус угла $\frac{\pi}{6}$ равен $\frac{1}{2}$, значит $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$. Тогда $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$. Угол $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:$2 \cdot \frac{\pi}{3} + 3 \cdot (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{3\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi - 3\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

2) $\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} - 4\arcsin1$

Найдем значения арксинусов.

Значение $\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}$ равно $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}$. Синус угла $\frac{\pi}{4}$ равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, и $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Значит, $\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$.

Найдем значение $\arcsin1$. Синус угла $\frac{\pi}{2}$ равен $1$, и $\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Значит, $\arcsin1 = \frac{\pi}{2}$.

Подставим найденные значения в выражение:$\frac{\pi}{4} - 4 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi - 8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{7\pi}{4}$

3) $\arccos(-\frac{1}{2}) - \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$

Для решения необходимо найти значения арккосинуса и арксинуса. Арккосинус числа $a$ ($\arccos a$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.

Найдем значение $\arccos(-\frac{1}{2})$. Используем формулу $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos\frac{1}{2}$. Косинус угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\frac{1}{2}$, значит $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.Тогда $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.

Значение $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$ мы нашли в первом пункте: $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Выполним вычитание:$\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

4) $\arccos(-1) - \arcsin(-1)$

Найдем значения арккосинуса и арксинуса.

Найдем значение $\arccos(-1)$. Косинус угла $\pi$ равен $-1$, и $\pi \in [0; \pi]$. Значит, $\arccos(-1) = \pi$.

Найдем значение $\arcsin(-1)$. Синус угла $-\frac{\pi}{2}$ равен $-1$, и $-\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Значит, $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Подставим найденные значения в выражение:$\pi - (-\frac{\pi}{2}) = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi + \pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$

Решить уравнение (1230–1240).

1230. 1) $cos(4 - 2x) = -\frac{1}{2}$;

2) $cos(6 + 3x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\sqrt{2}cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0$;

4) $2cos\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right) - \sqrt{3} = 0$.

1) $ \cos(4-2x)=-\frac{1}{2} $

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $ \cos(t) = a $. Общее решение для него записывается в виде $ t = \pm\arccos(a) + 2\pi n $, где $ n \in Z $.

В данном уравнении $ t = 4 - 2x $, а $ a = -\frac{1}{2} $.

Найдем значение арккосинуса: $ \arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.

Подставим это значение в формулу общего решения:

$ 4 - 2x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z $

Теперь выразим $ x $ из этого уравнения. Сначала выразим $ 2x $:

$ -2x = -4 \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n $

Умножим обе части уравнения на -1:

$ 2x = 4 \mp\frac{2\pi}{3} - 2\pi n $

Так как $ n $ является любым целым числом, то $ -n $ также является любым целым числом. Поэтому мы можем заменить $ -2\pi n $ на $ +2\pi k $, где $ k \in Z $. Знак $ \mp $ можно заменить на $ \pm $, так как оба знака обозначают два различных семейства решений.

$ 2x = 4 \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z $

Разделим обе части на 2:

$ x = 2 \pm\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z $

Ответ: $ x = 2 \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in Z $.

2) $ \cos(6+3x)=-\frac{\sqrt{2}}{2} $

Это уравнение вида $ \cos(t) = a $, где $ t = 6 + 3x $ и $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Общее решение: $ t = \pm\arccos(a) + 2\pi n, n \in Z $.

Найдем значение арккосинуса: $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.

Подставим в формулу:

$ 6 + 3x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z $

Выразим $ x $:

$ 3x = -6 \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n $

Разделим обе части на 3:

$ x = -\frac{6}{3} \pm\frac{3\pi}{4 \cdot 3} + \frac{2\pi n}{3} $

$ x = -2 \pm\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z $

Ответ: $ x = -2 \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z $.

3) $ \sqrt{2}\cos(2x+\frac{\pi}{4})+1=0 $

Сначала преобразуем уравнение, выразив $ \cos(2x+\frac{\pi}{4}) $:

$ \sqrt{2}\cos(2x+\frac{\pi}{4}) = -1 $

$ \cos(2x+\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Получили уравнение вида $ \cos(t) = a $, где $ t = 2x + \frac{\pi}{4} $ и $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Из предыдущего примера мы знаем, что $ \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4} $.

Запишем общее решение:

$ 2x + \frac{\pi}{4} = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z $

Выразим $ 2x $:

$ 2x = -\frac{\pi}{4} \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n $

Разобьем решение на два случая:

Случай 1 (знак "+"):

$ 2x = -\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z $

Случай 2 (знак "-"):

$ 2x = -\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{4\pi}{4} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n $

$ x = -\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $

Таким образом, уравнение имеет две серии решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n; x = -\frac{\pi}{2} + \pi k, n, k \in Z $.

4) $ 2\cos(\frac{\pi}{3}-3x)-\sqrt{3}=0 $

Преобразуем уравнение, чтобы выразить косинус:

$ 2\cos(\frac{\pi}{3}-3x) = \sqrt{3} $

$ \cos(\frac{\pi}{3}-3x) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Воспользуемся свойством четности функции косинус $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $, чтобы упростить выражение в аргументе:

$ \cos(3x-\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Это уравнение вида $ \cos(t) = a $, где $ t = 3x - \frac{\pi}{3} $ и $ a = \frac{\sqrt{3}}{2} $.

Найдем значение арккосинуса: $ \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6} $.

Общее решение:

$ 3x - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z $

Выразим $ 3x $:

$ 3x = \frac{\pi}{3} \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n $

Рассмотрим два случая:

Случай 1 (знак "+"):

$ 3x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z $

Случай 2 (знак "-"):

$ 3x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n $

$ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z $

Получили две серии решений.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}; x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{3}, n, k \in Z $.

1231. 1) $2\sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0$;

2) $1 - \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = 0$;

3) $3 + 4\sin(2x + 1) = 0$;

4) $5\sin(2x - 1) - 2 = 0$.

1) $2\sin(3x-\frac{\pi}{4}) + 1 = 0$
Перенесем 1 в правую часть и разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить синус:
$2\sin(3x-\frac{\pi}{4}) = -1$
$\sin(3x-\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin(y) = a$. Общее решение для него: $y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $y = 3x-\frac{\pi}{4}$ и $a = -\frac{1}{2}$.
Находим арксинус: $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставляем в общую формулу:
$3x-\frac{\pi}{4} = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k$
$3x-\frac{\pi}{4} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$
Теперь выразим $x$:
$3x = \frac{\pi}{4} + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$
Разделим обе части на 3:
$x = \frac{\pi}{12} + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2) $1 - \sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) = 0$
Выразим синус:
$\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}) = 1$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для $\sin(y) = 1$ имеет вид $y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $y = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}$.
$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$
Выразим $\frac{x}{2}$:
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{x}{2} = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $3 + 4\sin(2x + 1) = 0$
Выразим синус:
$4\sin(2x + 1) = -3$
$\sin(2x + 1) = -\frac{3}{4}$
Общее решение уравнения $\sin(y) = a$ есть $y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $y = 2x+1$ и $a = -\frac{3}{4}$.
$2x + 1 = (-1)^k \arcsin(-\frac{3}{4}) + \pi k$
Используем свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$:
$2x + 1 = (-1)^k (-\arcsin(\frac{3}{4})) + \pi k$
$2x + 1 = (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi k$
Теперь выразим $x$:
$2x = -1 + (-1)^{k+1} \arcsin(\frac{3}{4}) + \pi k$
Разделим обе части на 2:
$x = -\frac{1}{2} + (-1)^{k+1} \frac{1}{2} \arcsin(\frac{3}{4}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{1}{2} + (-1)^{k+1} \frac{1}{2} \arcsin(\frac{3}{4}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $5\sin(2x - 1) - 2 = 0$
Выразим синус:
$5\sin(2x - 1) = 2$
$\sin(2x - 1) = \frac{2}{5}$
Общее решение уравнения $\sin(y) = a$ есть $y = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $y = 2x - 1$ и $a = \frac{2}{5}$.
$2x - 1 = (-1)^k \arcsin(\frac{2}{5}) + \pi k$
Выразим $x$:
$2x = 1 + (-1)^k \arcsin(\frac{2}{5}) + \pi k$
Разделим обе части на 2:
$x = \frac{1}{2} + (-1)^k \frac{1}{2} \arcsin(\frac{2}{5}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{1}{2} + (-1)^k \frac{1}{2} \arcsin(\frac{2}{5}) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

1232. 1) $(1 + \sqrt{2}\cos x)(1 - 4\sin x \cos x) = 0;$

2) $(1 - \sqrt{2}\cos x)(1 + 2\sin 2x \cos 2x) = 0.$

1) $(1 + \sqrt{2}\cos x)(1 - 4\sin x \cos x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Поэтому данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$1 + \sqrt{2}\cos x = 0$ или $1 - 4\sin x \cos x = 0$.

Решим первое уравнение:

$1 + \sqrt{2}\cos x = 0$

$\sqrt{2}\cos x = -1$

$\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение. Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$1 - 4\sin x \cos x = 0$

$1 - 2(2\sin x \cos x) = 0$

$1 - 2\sin 2x = 0$

$2\sin 2x = 1$

$\sin 2x = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения обоих уравнений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) $(1 - \sqrt{2}\cos x)(1 + 2\sin 2x \cos 2x) = 0$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений, так как произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$1 - \sqrt{2}\cos x = 0$ или $1 + 2\sin 2x \cos 2x = 0$.

Рассмотрим первое уравнение:

$1 - \sqrt{2}\cos x = 0$

$\sqrt{2}\cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Корни этого уравнения:

$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим второе уравнение. Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, где в нашем случае $\alpha = 2x$:

$1 + 2\sin 2x \cos 2x = 0$

$1 + \sin(2 \cdot 2x) = 0$

$1 + \sin 4x = 0$

$\sin 4x = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Корни находятся по формуле:

$4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 4:

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя полученные серии корней, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

1233. 1) $ \text{tg}\left( 2x + \frac{\pi}{4} \right) = -1; $

2) $ \text{tg}\left( 3x - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}}; $

3) $ \sqrt{3} - \text{tg}\left( x - \frac{\pi}{5} \right) = 0; $

4) $ 1 - \text{tg}\left( x + \frac{\pi}{7} \right) = 0. $

1)

Дано уравнение: $\tg(2x + \frac{\pi}{4}) = -1$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\tg(A) = a$. Его решение находится по формуле $A = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $A = 2x + \frac{\pi}{4}$ и $a = -1$.

Подставляем значения в формулу:

$2x + \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg}(-1) + \pi n$

Поскольку $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$, получаем:

$2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть уравнения:

$2x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n$

$2x = -\frac{2\pi}{4} + \pi n$

$2x = -\frac{\pi}{2} + \pi n$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение: $\tg(3x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Используем общую формулу для решения уравнений с тангенсом: $A = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $A = 3x - \frac{\pi}{4}$ и $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Подставляем значения:

$3x - \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi n$

Так как $\operatorname{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Выразим $x$. Перенесем $-\frac{\pi}{4}$ в правую часть:

$3x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$3x = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + \pi n$

$3x = \frac{5\pi}{12} + \pi n$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано уравнение: $\sqrt{3} - \tg(x - \frac{\pi}{5}) = 0$.

Сначала преобразуем уравнение к стандартному виду $\tg(A) = a$.

$\tg(x - \frac{\pi}{5}) = \sqrt{3}$

Применяем общую формулу решения $A = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В этом уравнении $A = x - \frac{\pi}{5}$ и $a = \sqrt{3}$.

Подставляем значения:

$x - \frac{\pi}{5} = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n$

Поскольку $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$x - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{3} + \pi n$

Выразим $x$, перенеся $-\frac{\pi}{5}$ в правую часть:

$x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{5} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$x = \frac{5\pi}{15} + \frac{3\pi}{15} + \pi n$

$x = \frac{8\pi}{15} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{8\pi}{15} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4)

Дано уравнение: $1 - \tg(x + \frac{\pi}{7}) = 0$.

Преобразуем уравнение к стандартному виду:

$\tg(x + \frac{\pi}{7}) = 1$

Используем формулу $A = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Здесь $A = x + \frac{\pi}{7}$ и $a = 1$.

Подставляем значения:

$x + \frac{\pi}{7} = \operatorname{arctg}(1) + \pi n$

Так как $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$x + \frac{\pi}{7} = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{7} + \pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 28:

$x = \frac{7\pi}{28} - \frac{4\pi}{28} + \pi n$

$x = \frac{3\pi}{28} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{28} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

1234. 1) $2\sin^2 x + \sin x = 0;$

2) $3\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0;$

3) $\cos^2 x - 2\cos x = 0;$

4) $6\cos^2 x + 7\cos x - 3 = 0.$

1) $2\sin^2x + \sin x = 0$

Это неполное квадратное уравнение относительно $\sin x$. Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (2\sin x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому рассмотрим два случая:

а) $\sin x = 0$

Решения этого простейшего тригонометрического уравнения:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

б) $2\sin x + 1 = 0$

$2\sin x = -1$

$\sin x = -\frac{1}{2}$

Общая формула для решений этого уравнения:

$x = (-1)^{k} \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$

Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:

$x = (-1)^{k} (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения из обоих случаев, чтобы получить окончательный ответ.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $3\sin^2x - 5\sin x - 2 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\sin x$. Для его решения введем замену переменной: пусть $t = \sin x$. Так как значения синуса лежат в промежутке $[-1, 1]$, то и для переменной $t$ должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Подставив $t$ в уравнение, получаем: $3t^2 - 5t - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Теперь выполним обратную замену и проверим корни на соответствие условию $|t| \le 1$.

а) $t_1 = 2 \implies \sin x = 2$. Этот корень не подходит, так как $2 > 1$. Уравнение $\sin x = 2$ не имеет действительных решений.

б) $t_2 = -\frac{1}{3} \implies \sin x = -\frac{1}{3}$. Этот корень подходит, так как $|-\frac{1}{3}| \le 1$.

Решения уравнения $\sin x = -\frac{1}{3}$ записываются в виде:

$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арксинуса $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$, получаем:

$x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \arcsin(\frac{1}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos^2x - 2\cos x = 0$

Это неполное квадратное уравнение относительно $\cos x$. Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (\cos x - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

а) $\cos x = 0$

Решения этого простейшего тригонометрического уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x - 2 = 0 \implies \cos x = 2$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений косинуса $[-1, 1]$, а $2$ не входит в этот промежуток.

Следовательно, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $6\cos^2x + 7\cos x - 3 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Условие для $t$: $|t| \le 1$.

После замены получаем квадратное уравнение: $6t^2 + 7t - 3 = 0$.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 + 11}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.

$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 - 11}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$.

Выполним обратную замену и проверим корни.

а) $t_1 = \frac{1}{3} \implies \cos x = \frac{1}{3}$. Корень подходит, так как $|\frac{1}{3}| \le 1$.

Решения этого уравнения имеют вид:

$x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $t_2 = -\frac{3}{2} \implies \cos x = -\frac{3}{2}$. Этот корень не подходит, так как $-\frac{3}{2} < -1$. Уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

1235. 1) $6\sin^2x - \cos x + 6 = 0$;

2) $8\cos^2x - 12\sin x + 7 = 0$.

1) $6\sin^2x - \cos x + 6 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$, чтобы выразить $\sin^2x$ через $\cos^2x$: $\sin^2x = 1 - \cos^2x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$6(1 - \cos^2x) - \cos x + 6 = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$6 - 6\cos^2x - \cos x + 6 = 0$
$-6\cos^2x - \cos x + 12 = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$:
$6\cos^2x + \cos x - 12 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, при этом должно выполняться условие $|t| \le 1$ (так как область значений косинуса от $-1$ до $1$).
Получим квадратное уравнение относительно $t$:
$6t^2 + t - 12 = 0$

Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289 = 17^2$

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $|t| \le 1$:
$t_1 = \frac{4}{3} > 1$, следовательно, этот корень не подходит.
$t_2 = -\frac{3}{2} = -1.5 < -1$, следовательно, этот корень также не подходит.
Так как оба корня квадратного уравнения не принадлежат отрезку $[-1, 1]$, то уравнения $\cos x = \frac{4}{3}$ и $\cos x = -\frac{3}{2}$ не имеют решений.

Ответ: нет решений.

2) $8\cos^2x - 12\sin x + 7 = 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2x = 1 - \sin^2x$, чтобы привести уравнение к одной функции.
Подставим это выражение в уравнение:
$8(1 - \sin^2x) - 12\sin x + 7 = 0$

Раскроем скобки и упростим:
$8 - 8\sin^2x - 12\sin x + 7 = 0$
$-8\sin^2x - 12\sin x + 15 = 0$
Умножим обе части на $-1$:
$8\sin^2x + 12\sin x - 15 = 0$

Выполним замену переменной. Пусть $y = \sin x$, где $|y| \le 1$.
Получим квадратное уравнение:
$8y^2 + 12y - 15 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-15) = 144 + 480 = 624$.
Найдем корни для $y$:
$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{624}}{2 \cdot 8} = \frac{-12 \pm \sqrt{16 \cdot 39}}{16} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{39}}{16} = \frac{4(-3 \pm \sqrt{39})}{16} = \frac{-3 \pm \sqrt{39}}{4}$

Получаем два корня:
$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{39}}{4}$
$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{39}}{4}$

Проверим, удовлетворяют ли корни условию $|y| \le 1$.
Для $y_1$: так как $6^2=36$ и $7^2=49$, то $6 < \sqrt{39} < 7$. Тогда $3 < -3 + \sqrt{39} < 4$. Следовательно, $\frac{3}{4} < \frac{-3 + \sqrt{39}}{4} < 1$. Этот корень подходит, так как он принадлежит отрезку $[-1, 1]$.
Для $y_2$: так как $\sqrt{39} > 6$, то $-3 - \sqrt{39} < -9$. Следовательно, $\frac{-3 - \sqrt{39}}{4} < \frac{-9}{4} = -2.25$. Этот корень не подходит, так как он меньше $-1$.

Возвращаемся к замене. Нам нужно решить уравнение:
$\sin x = \frac{-3 + \sqrt{39}}{4}$
Общее решение этого уравнения имеет вид:
$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{-3 + \sqrt{39}}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{-3 + \sqrt{39}}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

1236. 1) $\text{tg}^2 x + 3\text{tg} x = 0$;

2) $2\text{tg}^2 x - \text{tg} x - 3 = 0$;

3) $\text{tg} x - 12\text{ctg} x + 1 = 0$;

4) $\text{tg} x + \text{ctg} x = 2$.

1) $tg^2 x + 3tg x = 0$

Данное уравнение является неполным квадратным уравнением относительно $tg x$. Для его решения вынесем общий множитель $tg x$ за скобки:

$tg x (tg x + 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем два случая:

а) $tg x = 0$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $tg x + 3 = 0$

$tg x = -3$

Решением этого уравнения является серия корней: $x = arctg(-3) + \pi k$. Используя свойство нечетности арктангенса ($arctg(-a) = -arctg(a)$), получаем: $x = -arctg(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -arctg(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $2tg^2 x - tg x - 3 = 0$

Это уравнение является полным квадратным уравнением относительно $tg x$. Введем замену переменной: пусть $t = tg x$. Уравнение примет вид:

$2t^2 - t - 3 = 0$

Для решения этого квадратного уравнения найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Теперь выполним обратную замену:

а) $tg x = \frac{3}{2}$

Решение: $x = arctg(\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $tg x = -1$

Решение: $x = arctg(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = arctg(\frac{3}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $tg x - 12ctg x + 1 = 0$

В этом уравнении присутствуют и тангенс, и котангенс. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим эти функции: $ctg x = \frac{1}{tg x}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условиями существования тангенса и котангенса, а также тем, что знаменатель не должен быть равен нулю. Следовательно, $cos x \neq 0$ и $sin x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого $k \in \mathbb{Z}$. Это также означает, что $tg x \neq 0$.

Подставим $ctg x = \frac{1}{tg x}$ в исходное уравнение:

$tg x - \frac{12}{tg x} + 1 = 0$

Введем замену $t = tg x$ (с учетом ОДЗ, $t \neq 0$):

$t - \frac{12}{t} + 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на $t$, чтобы избавиться от знаменателя:

$t^2 - 12 + t = 0$

Запишем в стандартном виде: $t^2 + t - 12 = 0$.

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета. Ищем два корня, произведение которых равно $-12$, а сумма равна $-1$. Этими числами являются $3$ и $-4$.

$t_1 = 3$, $t_2 = -4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \neq 0$. Выполним обратную замену:

а) $tg x = 3$

Решение: $x = arctg(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $tg x = -4$

Решение: $x = arctg(-4) + \pi k = -arctg(4) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = arctg(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -arctg(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $tg x + ctg x = 2$

Как и в предыдущем задании, используем тождество $ctg x = \frac{1}{tg x}$. ОДЗ остается прежней: $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим тождество в уравнение:

$tg x + \frac{1}{tg x} = 2$

Сделаем замену $t = tg x$, где $t \neq 0$:

$t + \frac{1}{t} = 2$

Умножим обе части уравнения на $t$:

$t^2 + 1 = 2t$

Перенесем все члены в одну сторону:

$t^2 - 2t + 1 = 0$

Полученное выражение является полным квадратом разности:

$(t-1)^2 = 0$

Отсюда следует, что $t-1=0$, то есть $t=1$.

Выполним обратную замену:

$tg x = 1$

Это простейшее тригонометрическое уравнение, решением которого является серия корней $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Данное решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

1237. 1) $2\sin 2x = 3\cos 2x$;

2) $4\sin 3x + 5\cos 3x = 0$;

3) $5\sin x + \cos x = 0$;

4) $4\sin x + 3\cos x = 0$.

1) $2\sin2x = 3\cos2x$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем все члены в левую часть:

$2\sin2x - 3\cos2x = 0$

Заметим, что $\cos2x \neq 0$, так как если бы $\cos2x = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin2x = 0$, что невозможно, поскольку основное тригонометрическое тождество $\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1$ не выполнялось бы ($0^2 + 0^2 \neq 1$).

Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $\cos2x$:

$\frac{2\sin2x}{\cos2x} - \frac{3\cos2x}{\cos2x} = 0$

Используя определение тангенса $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, получаем:

$2\tan2x - 3 = 0$

$2\tan2x = 3$

$\tan2x = \frac{3}{2}$

Теперь решим это простейшее тригонометрическое уравнение:

$2x = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

И, наконец, выразим $x$:

$x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $4\sin3x + 5\cos3x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Убедимся, что $\cos3x \neq 0$. Если предположить, что $\cos3x = 0$, то из уравнения следует $4\sin3x + 5 \cdot 0 = 0$, то есть $\sin3x = 0$. Это противоречит основному тригонометрическому тождеству.

Разделим обе части уравнения на $\cos3x$:

$\frac{4\sin3x}{\cos3x} + \frac{5\cos3x}{\cos3x} = 0$

$4\tan3x + 5 = 0$

$4\tan3x = -5$

$\tan3x = -\frac{5}{4}$

Найдем $3x$:

$3x = \arctan\left(-\frac{5}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство нечетности арктангенса, $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, получим:

$3x = -\arctan\left(\frac{5}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим на 3, чтобы найти $x$:

$x = -\frac{1}{3}\arctan\left(\frac{5}{4}\right) + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{1}{3}\arctan\left(\frac{5}{4}\right) + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

3) $5\sin x + \cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Так как $\cos x \neq 0$ (иначе из уравнения следовало бы, что и $\sin x = 0$, что невозможно), разделим обе части на $\cos x$:

$\frac{5\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0$

$5\tan x + 1 = 0$

$5\tan x = -1$

$\tan x = -\frac{1}{5}$

Найдем $x$:

$x = \arctan\left(-\frac{1}{5}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = -\arctan\left(\frac{1}{5}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan\left(\frac{1}{5}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

4) $4\sin x + 3\cos x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Так как $\cos x \neq 0$ (иначе и $\sin x = 0$, что невозможно), разделим обе части на $\cos x$:

$\frac{4\sin x}{\cos x} + \frac{3\cos x}{\cos x} = 0$

$4\tan x + 3 = 0$

$4\tan x = -3$

$\tan x = -\frac{3}{4}$

Найдем $x$:

$x = \arctan\left(-\frac{3}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = -\arctan\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan\left(\frac{3}{4}\right) + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.