Страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1204. 1) $\cos3x - \cos5x = \sin4x;$

2) $\sin7x - \sin x = \cos4x;$

3) $\cos3x + \cos3x = 4\cos2x;$

4) $\sin^2 x - \cos^2 x = \cos4x.$

1)Исходное уравнение: $cos(3x) - cos(5x) = sin(4x)$.
Для преобразования левой части используем формулу разности косинусов: $cos(\alpha) - cos(\beta) = -2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$.
$cos(3x) - cos(5x) = -2sin(\frac{3x+5x}{2})sin(\frac{3x-5x}{2}) = -2sin(4x)sin(-x)$.
Поскольку $sin(-x) = -sin(x)$, выражение упрощается до $2sin(4x)sin(x)$.
Подставим результат в уравнение:
$2sin(4x)sin(x) = sin(4x)$
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$2sin(4x)sin(x) - sin(4x) = 0$
$sin(4x)(2sin(x) - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1. $sin(4x) = 0 \implies 4x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.
2. $2sin(x) - 1 = 0 \implies sin(x) = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)Исходное уравнение: $sin(7x) - sin(x) = cos(4x)$.
Для преобразования левой части используем формулу разности синусов: $sin(\alpha) - sin(\beta) = 2sin(\frac{\alpha-\beta}{2})cos(\frac{\alpha+\beta}{2})$.
$sin(7x) - sin(x) = 2sin(\frac{7x-x}{2})cos(\frac{7x+x}{2}) = 2sin(3x)cos(4x)$.
Подставим результат в уравнение:
$2sin(3x)cos(4x) = cos(4x)$
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$2sin(3x)cos(4x) - cos(4x) = 0$
$cos(4x)(2sin(3x) - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1. $cos(4x) = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.
2. $2sin(3x) - 1 = 0 \implies sin(3x) = \frac{1}{2} \implies 3x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3)Исходное уравнение: $cos(3x) + cos(3x) = 4cos(2x)$.
Упростим левую часть:
$2cos(3x) = 4cos(2x)$
$cos(3x) = 2cos(2x)$
Используем формулы тройного и двойного угла: $cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)$ и $cos(2x) = 2cos^2(x) - 1$.
$4cos^3(x) - 3cos(x) = 2(2cos^2(x) - 1)$
$4cos^3(x) - 4cos^2(x) - 3cos(x) + 2 = 0$
Пусть $t = cos(x)$, при этом $|t| \le 1$. Получаем кубическое уравнение:
$4t^3 - 4t^2 - 3t + 2 = 0$
Методом подбора находим, что $t = 1/2$ является корнем: $4(\frac{1}{8}) - 4(\frac{1}{4}) - 3(\frac{1}{2}) + 2 = \frac{1}{2} - 1 - \frac{3}{2} + 2 = 0$.
Разделим многочлен на $(2t-1)$:
$(2t - 1)(2t^2 - t - 2) = 0$
Получаем два уравнения:
1. $2t - 1 = 0 \implies t_1 = \frac{1}{2}$. Этот корень подходит, так как $|\frac{1}{2}| \le 1$.
2. $2t^2 - t - 2 = 0$. Решим через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$.
$t = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$.
Проверим корни: $t_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{4} > \frac{1+4}{4} = \frac{5}{4} > 1$, не подходит.
$t_3 = \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$. Так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $-1 < \frac{1 - \sqrt{17}}{4} < -\frac{3}{4}$, этот корень подходит.
Возвращаемся к замене $cos(x) = t$.
1. $cos(x) = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. $cos(x) = \frac{1 - \sqrt{17}}{4} \implies x = \pm arccos(\frac{1 - \sqrt{17}}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm arccos(\frac{1 - \sqrt{17}}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4)Исходное уравнение: $sin^2(x) - cos^2(x) = cos(4x)$.
Левая часть уравнения является формулой косинуса двойного угла, взятой с противоположным знаком: $sin^2(x) - cos^2(x) = -(cos^2(x) - sin^2(x)) = -cos(2x)$.
Уравнение принимает вид:
$-cos(2x) = cos(4x)$
$cos(4x) + cos(2x) = 0$
Используем формулу суммы косинусов: $cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$.
$2cos(\frac{4x+2x}{2})cos(\frac{4x-2x}{2}) = 0$
$2cos(3x)cos(x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1. $cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
2. $cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Например, при $k=1$ в первой серии получаем $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$, что соответствует $n=0$ во второй серии. Любое решение вида $\frac{\pi}{2} + \pi n$ можно получить из первой серии, взяв $k = 1 + 3n$.
Поэтому достаточно указать только первую, более общую, серию решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

1205. 1) $\sqrt{3}\sin x \cos x = \sin^2 x$;

2) $2\sin x \cos x = \cos x$;

3) $\sin 4x + \sin^2 2x = 0$;

4) $\sin 2x + 2\cos^2 x = 0$.

1) $\sqrt{3}\sin x \cos x = \sin^2 x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$\sin^2 x - \sqrt{3}\sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x - \sqrt{3}\cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $\sin x = 0$

Отсюда $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0$

Перенесем $\sqrt{3}\cos x$ в правую часть:

$\sin x = \sqrt{3}\cos x$

Если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Поэтому можно разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3}$

$\tan x = \sqrt{3}$

Отсюда $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем:

Ответ: $x = \pi k$, $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin x \cos x = \cos x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$2\sin x \cos x - \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2\sin x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $\cos x = 0$

Отсюда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin x - 1 = 0$

$2\sin x = 1$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Отсюда $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем:

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin 4x + \sin^2 2x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В нашем случае $\alpha=2x$, поэтому $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$.

Подставим это в уравнение:

$2\sin 2x \cos 2x + \sin^2 2x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:

$\sin 2x (2\cos 2x + \sin 2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $\sin 2x = 0$

$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos 2x + \sin 2x = 0$

$\sin 2x = -2\cos 2x$

Разделим обе части на $\cos 2x$ (это возможно, так как если $\cos 2x = 0$, то и $\sin 2x = 0$, что одновременно невозможно):

$\tan 2x = -2$

$2x = \arctan(-2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = -\arctan 2 + \pi n$

$x = -\frac{1}{2}\arctan 2 + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем:

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, $x = -\frac{1}{2}\arctan 2 + \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin 2x + 2\cos^2 x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

Подставим это в уравнение:

$2\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:

$2\cos x (\sin x + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $2\cos x = 0 \implies \cos x = 0$

Отсюда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x + \cos x = 0$

$\sin x = -\cos x$

Разделим обе части на $\cos x$ (это возможно, так как если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что одновременно невозможно):

$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$

$\tan x = -1$

Отсюда $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем:

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

1206. 1) $2\sin^2 x = 1 + \frac{1}{3}\sin 4x;$

2) $2\cos^2 2x - 1 = \sin 4x;$

3) $2\cos^2 2x + 3\cos^2 x = 2;$

4) $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \cos x.$

1) $2\sin^2 x = 1 + \frac{1}{3}\sin 4x$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени для синуса $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$ и формулой двойного угла для синуса $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$.

Подставим эти формулы в исходное уравнение:

$1 - \cos 2x = 1 + \frac{1}{3}(2\sin 2x \cos 2x)$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$-\cos 2x = \frac{2}{3}\sin 2x \cos 2x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\frac{2}{3}\sin 2x \cos 2x + \cos 2x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки:

$\cos 2x (\frac{2}{3}\sin 2x + 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $\cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

б) $\frac{2}{3}\sin 2x + 1 = 0$

$\frac{2}{3}\sin 2x = -1$

$\sin 2x = -\frac{3}{2}$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синуса $[-1, 1]$, а $-\frac{3}{2} < -1$.

Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\cos^2 2x - 1 = \sin 4x$

Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса $2\cos^2 A - 1 = \cos 2A$. В нашем случае $A=2x$, поэтому левая часть уравнения равна $\cos(2 \cdot 2x) = \cos 4x$.

Уравнение принимает вид:

$\cos 4x = \sin 4x$

Разделим обе части уравнения на $\cos 4x$. Это можно сделать, так как если $\cos 4x = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin 4x = 0$, что невозможно одновременно из-за основного тригонометрического тождества $\sin^2 4x + \cos^2 4x = 1$.

$\frac{\sin 4x}{\cos 4x} = 1$

$\tan 4x = 1$

Найдем корни:

$4x = \arctan(1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$4x = \frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) $2\cos^2 2x + 3\cos^2 x = 2$

Применим формулу понижения степени для косинуса $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$, чтобы привести уравнение к одному аргументу $2x$.

$2\cos^2 2x + 3\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) = 2$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$4\cos^2 2x + 3(1 + \cos 2x) = 4$

$4\cos^2 2x + 3 + 3\cos 2x = 4$

$4\cos^2 2x + 3\cos 2x - 1 = 0$

Сделаем замену $y = \cos 2x$. Получим квадратное уравнение:

$4y^2 + 3y - 1 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(4)(-1) = 9 + 16 = 25$.

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{8}$

$y_1 = \frac{-3+5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$y_2 = \frac{-3-5}{8} = \frac{-8}{8} = -1$

Вернемся к замене:

а) $\cos 2x = \frac{1}{4}$

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{1}{2}\arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

б) $\cos 2x = -1$

$2x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{1}{2}\arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.

4) $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \cos x$

Раскроем квадрат в левой части уравнения:

$\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \cos x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, упростим левую часть:

$1 + 2\sin x \cos x = 1 + \cos x$

Вычтем 1 из обеих частей:

$2\sin x \cos x = \cos x$

Перенесем все в одну сторону:

$2\sin x \cos x - \cos x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2\sin x - 1) = 0$

Уравнение распадается на два:

а) $\cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

б) $2\sin x - 1 = 0$

$2\sin x = 1$

$\sin x = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.

1207. 1) $2\sin2x - 3(\sin x + \cos x) + 2 = 0;$

2) $\sin2x + 3 = 3\sin x + 3\cos x;$

3) $\sin2x + 4(\sin x + \cos x) + 4 = 0;$

4) $\sin2x + 5(\cos x + \sin x + 1) = 0.$

1) $2\sin2x - 3(\sin x + \cos x) + 2 = 0$

Данные уравнения решаются методом замены переменной. Введем замену: $t = \sin x + \cos x$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$, получаем:

$t^2 = 1 + \sin 2x$, откуда $\sin 2x = t^2 - 1$.

Также найдем область допустимых значений для $t$:

$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.

Поскольку $-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$, то $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$2(t^2 - 1) - 3t + 2 = 0$

$2t^2 - 2 - 3t + 2 = 0$

$2t^2 - 3t = 0$

$t(2t - 3) = 0$

Отсюда получаем два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = \frac{3}{2}$.

Проверим корни на принадлежность области допустимых значений $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то:

$t_1 = 0$ — удовлетворяет условию.

$t_2 = 1.5$ — не удовлетворяет условию, так как $1.5 > \sqrt{2}$.

Выполним обратную замену для $t_1 = 0$:

$\sin x + \cos x = 0$

Разделим обе части на $\cos x \neq 0$ (если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и сумма не равна нулю):

$\tan x + 1 = 0$

$\tan x = -1$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin2x + 3 = 3\sin x + 3\cos x$

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin2x - 3(\sin x + \cos x) + 3 = 0$

Используем ту же замену: $t = \sin x + \cos x$, $\sin 2x = t^2 - 1$, где $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$.

Подставим в уравнение:

$(t^2 - 1) - 3t + 3 = 0$

$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Проверяем корни: $t_1 = 1$ принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$, а $t_2 = 2$ не принадлежит, так как $2 > \sqrt{2}$.

Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:

$\sin x + \cos x = 1$

Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла:

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Отсюда получаем две серии решений:

1. $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\pi n, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin2x + 4(\sin x + \cos x) + 4 = 0$

Используем замену $t = \sin x + \cos x$, $\sin 2x = t^2 - 1$ ($-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$).

$(t^2 - 1) + 4t + 4 = 0$

$t^2 + 4t + 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = -1$, $t_2 = -3$.

Проверяем корни: $t_1 = -1$ принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$, а $t_2 = -3$ не принадлежит, так как $-3 < -\sqrt{2}$.

Выполним обратную замену для $t_1 = -1$:

$\sin x + \cos x = -1$

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Отсюда получаем две серии решений:

1. $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $x + \frac{\pi}{4} = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi n \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin2x + 5(\cos x + \sin x + 1) = 0$

Раскроем скобки и перегруппируем:

$\sin2x + 5(\sin x + \cos x) + 5 = 0$

Используем замену $t = \sin x + \cos x$, $\sin 2x = t^2 - 1$ ($-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$).

$(t^2 - 1) + 5t + 5 = 0$

$t^2 + 5t + 4 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = -1$, $t_2 = -4$.

Проверяем корни: $t_1 = -1$ принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$, а $t_2 = -4$ не принадлежит, так как $-4 < -\sqrt{2}$.

Выполним обратную замену для $t_1 = -1$:

$\sin x + \cos x = -1$

Решение этого уравнения было найдено в пункте 3:

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

1. $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

1208. 1) $1 - \cos(\pi - x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) = 0;$

2) $\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = (\sin x + \cos x)^2;$

3) $1 + \cos x = \cot\frac{x}{2};$

4) $\sin x + \tan\frac{x}{2} = 0.$

1) Решим уравнение $1 - \cos(\pi - x) + \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}) = 0$.
Применим формулы приведения: $\cos(\pi - x) = -\cos x$ и $\sin(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}) = \cos(\frac{x}{2})$.
Уравнение примет вид:
$1 - (-\cos x) + \cos(\frac{x}{2}) = 0$
$1 + \cos x + \cos(\frac{x}{2}) = 0$
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2}) - 1$:
$1 + (2\cos^2(\frac{x}{2}) - 1) + \cos(\frac{x}{2}) = 0$
$2\cos^2(\frac{x}{2}) + \cos(\frac{x}{2}) = 0$
Вынесем $\cos(\frac{x}{2})$ за скобки:
$\cos(\frac{x}{2})(2\cos(\frac{x}{2}) + 1) = 0$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $\cos(\frac{x}{2}) = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $2\cos(\frac{x}{2}) + 1 = 0 \implies \cos(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{2} \implies \frac{x}{2} = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n \implies \frac{x}{2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}.$

2) Решим уравнение $\sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4}) = (\sin x + \cos x)^2$.
Преобразуем левую часть по формуле косинуса разности:
$\sqrt{2}(\cos x \cos\frac{\pi}{4} + \sin x \sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \cos x + \sin x$.
Уравнение принимает вид:
$\sin x + \cos x = (\sin x + \cos x)^2$.
Сделаем замену $t = \sin x + \cos x$.
$t = t^2 \implies t^2 - t = 0 \implies t(t-1) = 0$.
Возвращаемся к переменной $x$:
1) $t=0 \implies \sin x + \cos x = 0$. Так как значения $x$, при которых $\cos x = 0$, не являются решениями этого уравнения, разделим обе части на $\cos x \ne 0$:
$\tan x + 1 = 0 \implies \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $t=1 \implies \sin x + \cos x = 1$. Используем метод вспомогательного угла. Умножим обе части на $\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$
$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
- Если $n$ четное ($n=2m$): $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi m \implies x = 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.
- Если $n$ нечетное ($n=2m+1$): $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi(2m+1) \implies x = -\frac{\pi}{2} + (2m+1)\pi = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x = 2\pi k, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

3) Решим уравнение $1 + \cos x = \text{ctg}(\frac{x}{2})$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin(\frac{x}{2}) \ne 0 \implies \frac{x}{2} \ne \pi k \implies x \ne 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используем формулу косинуса двойного угла $1 + \cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$ и определение котангенса $\text{ctg}(\frac{x}{2}) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}$.
$2\cos^2(\frac{x}{2}) = \frac{\cos(\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}$
$2\cos^2(\frac{x}{2}) - \frac{\cos(\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} = 0$
$\cos(\frac{x}{2}) \left( 2\cos(\frac{x}{2}) - \frac{1}{\sin(\frac{x}{2})} \right) = 0$
Получаем два случая:
1) $\cos(\frac{x}{2}) = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \pm 1 \ne 0$.
2) $2\cos(\frac{x}{2}) - \frac{1}{\sin(\frac{x}{2})} = 0 \implies 2\cos(\frac{x}{2})\sin(\frac{x}{2}) = 1$.
Используя формулу синуса двойного угла $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$, получаем $\sin x = 1$.
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$. Это решение также удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

4) Решим уравнение $\sin x + \text{tg}(\frac{x}{2}) = 0$.
ОДЗ: $\cos(\frac{x}{2}) \ne 0 \implies \frac{x}{2} \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используем формулы половинного угла: $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$ и $\text{tg}(\frac{x}{2}) = \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}$.
$2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) + \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})} = 0$
Вынесем $\sin(\frac{x}{2})$ за скобки:
$\sin(\frac{x}{2}) \left( 2\cos(\frac{x}{2}) + \frac{1}{\cos(\frac{x}{2})} \right) = 0$
Получаем два случая:
1) $\sin(\frac{x}{2}) = 0 \implies \frac{x}{2} = \pi n \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $\cos(\pi n) = \pm 1 \ne 0$.
2) $2\cos(\frac{x}{2}) + \frac{1}{\cos(\frac{x}{2})} = 0$. Умножим на $\cos(\frac{x}{2}) \ne 0$:
$2\cos^2(\frac{x}{2}) + 1 = 0 \implies \cos^2(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{2}$. Данное уравнение не имеет действительных решений.
Следовательно, решением исходного уравнения является только первая серия корней.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

1209. 1) $4\sin x \cos x \cos 2x = \sin^2 4x;$

2) $1 + \cos^2 x = \sin^4 x.$

1) Решим уравнение $4 \sin x \cos x \cos 2x = \sin^2 4x$.

Сначала преобразуем левую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Выражение $4 \sin x \cos x$ можно переписать как $2 \cdot (2 \sin x \cos x) = 2 \sin 2x$.

Тогда левая часть уравнения становится $2 \sin 2x \cos 2x$.

Применив формулу синуса двойного угла еще раз, получим:

$2 \sin 2x \cos 2x = \sin(2 \cdot 2x) = \sin 4x$.

Теперь исходное уравнение можно записать в виде:

$\sin 4x = \sin^2 4x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\sin^2 4x - \sin 4x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 4x$ за скобки:

$\sin 4x (\sin 4x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два независимых случая:

а) $\sin 4x = 0$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является $4x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отсюда находим первую серию корней: $x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin 4x - 1 = 0 \Rightarrow \sin 4x = 1$

Решением этого уравнения является $4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда находим вторую серию корней: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi n}{4}; \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $1 + \cos^2 x = \sin^4 x$.

Для решения приведем уравнение к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$1 + (1 - \sin^2 x) = \sin^4 x$

$2 - \sin^2 x = \sin^4 x$

Перенесем все члены в правую часть и получим:

$\sin^4 x + \sin^2 x - 2 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\sin^2 x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sin^2 x$. Учитывая, что $0 \le \sin^2 x \le 1$, для переменной $t$ должно выполняться условие $0 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену:

а) $t_1 = \sin^2 x = 1$. Этот корень удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$.

б) $t_2 = \sin^2 x = -2$. Этот корень не подходит, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, в этом случае решений нет.

Остается решить уравнение $\sin^2 x = 1$.

Это равносильно совокупности двух уравнений: $\sin x = 1$ или $\sin x = -1$.

Эти два случая можно объединить. Если $\sin^2 x = 1$, то $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - 1 = 0$, что означает $\cos x = 0$.

Решением уравнения $\cos x = 0$ является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

1210. 1) $ \cos2x + 4\sin^4 x = 8\cos^6 x; $

2) $ \cos^4 x + \sin^8 x = 1; $

3) $ 2\sin^2 x + \frac{1}{4}\cos^3 2x = 1; $

4) $ \sin^2 2x + \cos^2 3x = 1 + 4\sin x. $

1) $cos2x + 4sin⁴x = 8cos⁶x$

Используем формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество, чтобы выразить все через $cos(x)$:

$cos(2x) = 2cos²x - 1$

$sin⁴x = (sin²x)² = (1 - cos²x)² = 1 - 2cos²x + cos⁴x$

Подставляем в исходное уравнение:

$(2cos²x - 1) + 4(1 - 2cos²x + cos⁴x) = 8cos⁶x$

$2cos²x - 1 + 4 - 8cos²x + 4cos⁴x = 8cos⁶x$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$8cos⁶x - 4cos⁴x + 6cos²x - 3 = 0$

Сделаем замену $y = cos²x$. Так как $0 ≤ cos²x ≤ 1$, то $0 ≤ y ≤ 1$.

$8y³ - 4y² + 6y - 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$4y²(2y - 1) + 3(2y - 1) = 0$

$(4y² + 3)(2y - 1) = 0$

Получаем два случая:

1) $4y² + 3 = 0 \Rightarrow 4y² = -3$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $y²$ не может быть отрицательным.

2) $2y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1/2$.

Возвращаемся к замене:

$cos²x = 1/2$

Это равносильно уравнению $ \frac{1+cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} $, откуда $cos(2x) = 0$.

$2x = \frac{π}{2} + πk, k \in ℤ$

$x = \frac{π}{4} + \frac{πk}{2}, k \in ℤ$

Ответ: $x = \frac{π}{4} + \frac{πk}{2}, k \in ℤ$.

2) $cos⁴x + sin⁸x = 1$

Поскольку $cos²x \in [0, 1]$ и $sin²x \in [0, 1]$, справедливы неравенства:

$cos⁴x ≤ cos²x$

$sin⁸x ≤ sin²x$

Сложив эти неравенства, получим:

$cos⁴x + sin⁸x ≤ cos²x + sin²x$

$cos⁴x + sin⁸x ≤ 1$

Согласно условию задачи, левая часть равна 1. Равенство достигается только в том случае, когда оба неравенства выше обращаются в равенства:

$\begin{cases} cos⁴x = cos²x \\ sin⁸x = sin²x \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$cos⁴x - cos²x = 0 \Rightarrow cos²x(cos²x - 1) = 0 \Rightarrow -cos²x \cdot sin²x = 0$

Отсюда следует, что либо $cos²x = 0$, либо $sin²x = 0$.

Решим второе уравнение системы:

$sin⁸x - sin²x = 0 \Rightarrow sin²x(sin⁶x - 1) = 0$

Отсюда следует, что либо $sin²x = 0$, либо $sin⁶x = 1$ (что равносильно $sin²x = 1$).

Теперь объединим условия для всей системы:

$(cos²x = 0 \text{ или } sin²x = 0) \text{ и } (sin²x = 0 \text{ или } sin²x = 1)$

Рассмотрим два случая, которые удовлетворяют этим условиям:

Случай 1: $sin²x = 0$. Тогда $cos²x = 1 - sin²x = 1$. Это удовлетворяет обоим условиям.
$sin x = 0 \Rightarrow x = πk, k \in ℤ$.

Случай 2: $cos²x = 0$. Тогда $sin²x = 1 - cos²x = 1$. Это также удовлетворяет обоим условиям.
$cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + πk, k \in ℤ$.

Объединяя оба набора решений, получаем все точки, кратные $\frac{π}{2}$.

Ответ: $x = \frac{πk}{2}, k \in ℤ$.

3) $2sin²x + \frac{1}{4}cos³(2x) = 1$

Используем формулу понижения степени $sin²x = \frac{1 - cos(2x)}{2}$.

$2 \cdot \frac{1 - cos(2x)}{2} + \frac{1}{4}cos³(2x) = 1$

$1 - cos(2x) + \frac{1}{4}cos³(2x) = 1$

$\frac{1}{4}cos³(2x) - cos(2x) = 0$

Вынесем $cos(2x)$ за скобки:

$cos(2x) \left(\frac{1}{4}cos²(2x) - 1\right) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $cos(2x) = 0$

$2x = \frac{π}{2} + πk, k \in ℤ$

$x = \frac{π}{4} + \frac{πk}{2}, k \in ℤ$

2) $\frac{1}{4}cos²(2x) - 1 = 0 \Rightarrow cos²(2x) = 4 \Rightarrow cos(2x) = ±2$.

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$.

Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{π}{4} + \frac{πk}{2}, k \in ℤ$.

4) $sin²(2x) + cos²(3x) = 1 + 4sin(x)$

Перенесем 1 в левую часть:

$sin²(2x) + cos²(3x) - 1 = 4sin(x)$

Используем основное тригонометрическое тождество $cos²(3x) - 1 = -sin²(3x)$:

$sin²(2x) - sin²(3x) = 4sin(x)$

Применим формулу разности квадратов синусов $sin²A - sin²B = sin(A - B)sin(A + B)$:

$sin(2x - 3x)sin(2x + 3x) = 4sin(x)$

$sin(-x)sin(5x) = 4sin(x)$

Так как $sin(-x) = -sin(x)$, получаем:

$-sin(x)sin(5x) = 4sin(x)$

Перенесем все в одну сторону и вынесем $sin(x)$ за скобки:

$sin(x)sin(5x) + 4sin(x) = 0$

$sin(x)(sin(5x) + 4) = 0$

Получаем два случая:

1) $sin(x) = 0 \Rightarrow x = πk, k \in ℤ$.

2) $sin(5x) + 4 = 0 \Rightarrow sin(5x) = -4$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1, 1]$.

Следовательно, решением является только первая серия корней.

Ответ: $x = πk, k \in ℤ$.

1211. 1) $ \cos^2 x + \cos^2 2x = \cos^2 3x; $

2) $ \cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = \frac{3}{2}; $

3) $ \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x + \cos^2 5x = 2; $

4) $ \sin^2 x + \sin^2 2x = \sin^2 3x + \sin^2 4x. $

1) $ \cos^2x + \cos^22x = \cos^23x $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.
Применим эту формулу к каждому члену уравнения:$ \frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(4x)}{2} = \frac{1 + \cos(6x)}{2} $
Умножим обе части уравнения на 2:$ 1 + \cos(2x) + 1 + \cos(4x) = 1 + \cos(6x) $
$ 1 + \cos(2x) + \cos(4x) = \cos(6x) $
Перенесем все члены в одну сторону и преобразуем:$ \cos(6x) - \cos(2x) - (\cos(4x) + 1) = 0 $
Воспользуемся формулой разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $ и формулой косинуса двойного угла $ 1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha $.$ -2\sin\frac{6x+2x}{2}\sin\frac{6x-2x}{2} - 2\cos^2(2x) = 0 $
$ -2\sin(4x)\sin(2x) - 2\cos^2(2x) = 0 $
Разложим $ \sin(4x) $ по формуле синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:$ -2(2\sin(2x)\cos(2x))\sin(2x) - 2\cos^2(2x) = 0 $
$ -4\sin^2(2x)\cos(2x) - 2\cos^2(2x) = 0 $
Вынесем общий множитель $ -2\cos(2x) $ за скобки:$ -2\cos(2x)(2\sin^2(2x) + \cos(2x)) = 0 $
Это уравнение распадается на два:
1. $ \cos(2x) = 0 $
$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $

2. $ 2\sin^2(2x) + \cos(2x) = 0 $
Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x) $:$ 2(1 - \cos^2(2x)) + \cos(2x) = 0 $
$ 2 - 2\cos^2(2x) + \cos(2x) = 0 $
$ 2\cos^2(2x) - \cos(2x) - 2 = 0 $
Сделаем замену $ t = \cos(2x) $, где $ |t| \le 1 $:$ 2t^2 - t - 2 = 0 $
Решим квадратное уравнение:$ t = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4} $
Получаем два значения для $ t $:$ t_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{4} $. Так как $ \sqrt{17} > \sqrt{16} = 4 $, то $ 1 + \sqrt{17} > 5 $, и $ t_1 > \frac{5}{4} > 1 $. Этот корень является посторонним.$ t_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{4} $. Так как $ 4 < \sqrt{17} < 5 $, то $ -4 < 1 - \sqrt{17} < -3 $, и $ -1 < t_2 < -\frac{3}{4} $. Это значение удовлетворяет условию $ |t| \le 1 $.Возвращаемся к замене:$ \cos(2x) = \frac{1 - \sqrt{17}}{4} $
$ 2x = \pm \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{17}}{4}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{17}}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{17}}{4}\right) + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos^2x + \cos^22x + \cos^23x = \frac{3}{2} $

Используем формулу понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $:$ \frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(4x)}{2} + \frac{1 + \cos(6x)}{2} = \frac{3}{2} $
Умножим обе части на 2:$ 1 + \cos(2x) + 1 + \cos(4x) + 1 + \cos(6x) = 3 $
$ 3 + \cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) = 3 $
$ \cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) = 0 $
Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:$ (\cos(6x) + \cos(2x)) + \cos(4x) = 0 $
$ 2\cos\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} + \cos(4x) = 0 $
$ 2\cos(4x)\cos(2x) + \cos(4x) = 0 $
Вынесем общий множитель $ \cos(4x) $ за скобки:$ \cos(4x)(2\cos(2x) + 1) = 0 $
Уравнение распадается на два:
1. $ \cos(4x) = 0 $
$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} $

2. $ 2\cos(2x) + 1 = 0 $
$ \cos(2x) = -\frac{1}{2} $
$ 2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \cos^22x + \cos^23x + \cos^24x + \cos^25x = 2 $

Используем формулу понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $:$ \frac{1+\cos(4x)}{2} + \frac{1+\cos(6x)}{2} + \frac{1+\cos(8x)}{2} + \frac{1+\cos(10x)}{2} = 2 $
Умножим обе части на 2:$ 1+\cos(4x) + 1+\cos(6x) + 1+\cos(8x) + 1+\cos(10x) = 4 $
$ 4 + \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) + \cos(10x) = 4 $
$ \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) + \cos(10x) = 0 $
Сгруппируем слагаемые: $ (\cos(10x) + \cos(4x)) + (\cos(8x) + \cos(6x)) = 0 $.
Применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:$ 2\cos\frac{10x+4x}{2}\cos\frac{10x-4x}{2} + 2\cos\frac{8x+6x}{2}\cos\frac{8x-6x}{2} = 0 $
$ 2\cos(7x)\cos(3x) + 2\cos(7x)\cos(x) = 0 $
Вынесем общий множитель $ 2\cos(7x) $ за скобки:$ 2\cos(7x)(\cos(3x) + \cos(x)) = 0 $
Снова применим формулу суммы косинусов ко второму множителю:$ 2\cos(7x)(2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}) = 0 $
$ 4\cos(7x)\cos(2x)\cos(x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1. $ \cos(7x) = 0 $
$ 7x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi k}{7}, \quad k \in \mathbb{Z} $

2. $ \cos(2x) = 0 $
$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z} $

3. $ \cos(x) = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi k}{7}, \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ k, m, n \in \mathbb{Z} $.

4) $ \sin^2x + \sin^22x = \sin^23x + \sin^24x $

Используем формулу понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $:$ \frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(4x)}{2} = \frac{1 - \cos(6x)}{2} + \frac{1 - \cos(8x)}{2} $
Умножим обе части на 2:$ 1 - \cos(2x) + 1 - \cos(4x) = 1 - \cos(6x) + 1 - \cos(8x) $
$ 2 - \cos(2x) - \cos(4x) = 2 - \cos(6x) - \cos(8x) $
$ \cos(2x) + \cos(4x) = \cos(6x) + \cos(8x) $
Перенесем все члены в одну сторону:$ \cos(8x) - \cos(2x) + \cos(6x) - \cos(4x) = 0 $
Применим формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $ к обеим парам:$ -2\sin\frac{8x+2x}{2}\sin\frac{8x-2x}{2} - 2\sin\frac{6x+4x}{2}\sin\frac{6x-4x}{2} = 0 $
$ -2\sin(5x)\sin(3x) - 2\sin(5x)\sin(x) = 0 $
Вынесем общий множитель $ -2\sin(5x) $ за скобки:$ -2\sin(5x)(\sin(3x) + \sin(x)) = 0 $
Применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:$ -2\sin(5x)(2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}) = 0 $
$ -4\sin(5x)\sin(2x)\cos(x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1. $ \sin(5x) = 0 $
$ 5x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} $

2. $ \sin(2x) = 0 $
$ 2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z} $

3. $ \cos(x) = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
Заметим, что решения третьего уравнения являются частным случаем решений второго. Если $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, то $ 2x = \pi + 2\pi n = (2n+1)\pi $. Тогда $ \sin(2x) = \sin((2n+1)\pi) = 0 $. Поэтому достаточно указать только первые две серии решений.
Ответ: $ x = \frac{\pi k}{5}, \quad x = \frac{\pi m}{2} $, где $ k, m \in \mathbb{Z} $.

1212. 1) $ \cos 7x \cos 13x = \cos x \cos 19x; $

2) $ \sin x \sin 5x = \sin 2x \sin 4x; $

3) $ \cos x \cos 3x = \frac{1}{2}; $

4) $ \sin x \sin 3x = \frac{1}{2}. $

1) $ \cos{7x}\cos{13x}=\cos{x}\cos{19x} $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}(\cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\alpha+\beta)}) $. Применим ее к обеим частям уравнения.

Левая часть: $ \cos{7x}\cos{13x} = \frac{1}{2}(\cos{(13x-7x)}+\cos{(13x+7x)}) = \frac{1}{2}(\cos{6x}+\cos{20x}) $.

Правая часть: $ \cos{x}\cos{19x} = \frac{1}{2}(\cos{(19x-x)}+\cos{(19x+x)}) = \frac{1}{2}(\cos{18x}+\cos{20x}) $.

Приравниваем полученные выражения:

$ \frac{1}{2}(\cos{6x}+\cos{20x}) = \frac{1}{2}(\cos{18x}+\cos{20x}) $

Умножим обе части на 2 и сократим $ \cos{20x} $:

$ \cos{6x}+\cos{20x} = \cos{18x}+\cos{20x} $

$ \cos{6x} = \cos{18x} $

$ \cos{18x} - \cos{6x} = 0 $

Теперь применим формулу разности косинусов: $ \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} $.

$ -2\sin{\frac{18x+6x}{2}}\sin{\frac{18x-6x}{2}} = 0 $

$ -2\sin{12x}\sin{6x} = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1) $ \sin{12x} = 0 \implies 12x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{12}, n \in Z $.

2) $ \sin{6x} = 0 \implies 6x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{6}, k \in Z $.

Заметим, что вторая серия корней $ x = \frac{\pi k}{6} = \frac{2\pi k}{12} $ является подмножеством первой серии $ x = \frac{\pi n}{12} $ (при четных $n=2k$). Таким образом, все решения описываются первой формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{12}, n \in Z $.

2) $ \sin{x}\sin{5x}=\sin{2x}\sin{4x} $

Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}(\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}) $. Применим ее к обеим частям уравнения.

Левая часть: $ \sin{x}\sin{5x} = \frac{1}{2}(\cos{(5x-x)}-\cos{(5x+x)}) = \frac{1}{2}(\cos{4x}-\cos{6x}) $.

Правая часть: $ \sin{2x}\sin{4x} = \frac{1}{2}(\cos{(4x-2x)}-\cos{(4x+2x)}) = \frac{1}{2}(\cos{2x}-\cos{6x}) $.

Приравниваем полученные выражения:

$ \frac{1}{2}(\cos{4x}-\cos{6x}) = \frac{1}{2}(\cos{2x}-\cos{6x}) $

$ \cos{4x}-\cos{6x} = \cos{2x}-\cos{6x} $

$ \cos{4x} = \cos{2x} $

$ \cos{4x} - \cos{2x} = 0 $

Применим формулу разности косинусов: $ \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} $.

$ -2\sin{\frac{4x+2x}{2}}\sin{\frac{4x-2x}{2}} = 0 $

$ -2\sin{3x}\sin{x} = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1) $ \sin{3x} = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}, n \in Z $.

2) $ \sin{x} = 0 \implies x = \pi k, k \in Z $.

Вторая серия корней $ x = \pi k = \frac{3\pi k}{3} $ является подмножеством первой серии $ x = \frac{\pi n}{3} $ (при $n=3k$). Таким образом, все решения описываются первой формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, n \in Z $.

3) $ \cos{x}\cos{3x}=\frac{1}{2} $

Применим формулу произведения косинусов $ \cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}(\cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\alpha+\beta)}) $.

$ \frac{1}{2}(\cos{(3x-x)}+\cos{(3x+x)}) = \frac{1}{2} $

$ \cos{2x}+\cos{4x} = 1 $

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos{4x} = 2\cos^2{2x}-1 $.

$ \cos{2x} + 2\cos^2{2x}-1 = 1 $

$ 2\cos^2{2x} + \cos{2x} - 2 = 0 $

Сделаем замену $ t = \cos{2x} $, при этом $ |t| \le 1 $.

$ 2t^2 + t - 2 = 0 $

Находим корни квадратного уравнения через дискриминант: $ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17 $.

$ t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4} $

Проверим корни на соответствие условию $ |t| \le 1 $:

$ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4} $. Так как $ 4 < \sqrt{17} < 5 $, то $ \frac{3}{4} < \frac{-1+\sqrt{17}}{4} < 1 $. Этот корень подходит.

$ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4} $. Так как $ -5 < -\sqrt{17} < -4 $, то $ \frac{-1-5}{4} < \frac{-1-\sqrt{17}}{4} < \frac{-1-4}{4} $, т.е. $ -1.5 < t_2 < -1.25 $. Этот корень не подходит.

Возвращаемся к переменной $ x $:

$ \cos{2x} = \frac{\sqrt{17}-1}{4} $

$ 2x = \pm \arccos{\left(\frac{\sqrt{17}-1}{4}\right)} + 2\pi n, n \in Z $

$ x = \pm \frac{1}{2} \arccos{\left(\frac{\sqrt{17}-1}{4}\right)} + \pi n, n \in Z $

Ответ: $ x = \pm \frac{1}{2} \arccos{\left(\frac{\sqrt{17}-1}{4}\right)} + \pi n, n \in Z $.

4) $ \sin{x}\sin{3x}=\frac{1}{2} $

Применим формулу произведения синусов $ \sin{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}(\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}) $.

$ \frac{1}{2}(\cos{(3x-x)}-\cos{(3x+x)}) = \frac{1}{2} $

$ \cos{2x}-\cos{4x} = 1 $

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos{4x} = 2\cos^2{2x}-1 $.

$ \cos{2x} - (2\cos^2{2x}-1) = 1 $

$ \cos{2x} - 2\cos^2{2x} + 1 = 1 $

$ \cos{2x} - 2\cos^2{2x} = 0 $

$ \cos{2x}(1-2\cos{2x}) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $ \cos{2x} = 0 $

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $

2) $ 1-2\cos{2x} = 0 $

$ \cos{2x} = \frac{1}{2} $

$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z $

$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, $ где $ n, k \in Z $.

1213. 1) $4\sin3x + \sin5x - 2\sin x \cos2x = 0;$

2) $6\cos2x \sin x + 7\sin2x = 0;$

3) $\sin x \sin5x = 1;$

4) $\sin x \cos4x = -1.$

1214. 1) $5\sin^4 x + 3\cos^6 x = 8;$

2) $\sin^3 x + 2\cos^5 x = \sqrt{10};$

3) $\sin x \sin 5x \sin 17x = 1;$

4) $\cos x \cos 2x \cos 3x = 1.$

1)

Рассмотрим уравнение $5\sin^4 x + 3\cos^6 x = 8$.

Для решения этого уравнения воспользуемся методом оценки. Известно, что для любого действительного числа $x$ выполняются неравенства $0 \le \sin^2 x \le 1$ и $0 \le \cos^2 x \le 1$.

Поскольку $\sin^2 x \le 1$, то, возведя обе части в квадрат, получаем $\sin^4 x \le \sin^2 x$. Аналогично, из $\cos^2 x \le 1$ следует, что $\cos^6 x \le \cos^2 x$.

Используя эти неравенства, мы можем оценить левую часть уравнения:

$5\sin^4 x + 3\cos^6 x \le 5\sin^2 x + 3\cos^2 x$.

Теперь преобразуем полученное выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

$5\sin^2 x + 3\cos^2 x = 5\sin^2 x + 3(1 - \sin^2 x) = 5\sin^2 x + 3 - 3\sin^2 x = 2\sin^2 x + 3$.

Так как максимальное значение $\sin^2 x$ равно 1, то максимальное значение выражения $2\sin^2 x + 3$ равно $2(1) + 3 = 5$.

Таким образом, мы получили оценку для левой части исходного уравнения:

$5\sin^4 x + 3\cos^6 x \le 5$.

В то же время правая часть уравнения равна 8. Поскольку $5 < 8$, левая часть уравнения никогда не может быть равна правой. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2)

Рассмотрим уравнение $\sin^3 x + 2\cos^5 x = \sqrt{10}$.

Для решения этого уравнения также применим метод оценки. Воспользуемся следующими неравенствами, справедливыми для любых действительных $x$:

$\sin^3 x \le |\sin x|$ и $\cos^5 x \le |\cos x|$.

Доказательство неравенства $\sin^3 x \le |\sin x|$:

- Если $\sin x \ge 0$, то $|\sin x| = \sin x$. Так как $0 \le \sin x \le 1$, то $\sin^3 x \le \sin x$. Неравенство верно.

- Если $\sin x < 0$, то $\sin^3 x$ также отрицательно, а $|\sin x|$ положительно. Следовательно, $\sin^3 x < |\sin x|$. Неравенство верно.

Аналогично доказывается, что $\cos^5 x \le |\cos x|$.

Используя эти неравенства, оценим левую часть уравнения:

$\sin^3 x + 2\cos^5 x \le |\sin x| + 2|\cos x|$.

Теперь найдем максимальное значение выражения $|\sin x| + 2|\cos x|$. Пусть $u = |\sin x|$ и $v = |\cos x|$. Тогда $u \ge 0$, $v \ge 0$ и $u^2 + v^2 = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Нам нужно найти максимум функции $f(u, v) = u + 2v$ при условии $u^2 + v^2 = 1$.

Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского-Шварца:

$(a_1b_1 + a_2b_2)^2 \le (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)$.

Положим $a_1=1, a_2=2$ и $b_1=u, b_2=v$:

$(1 \cdot u + 2 \cdot v)^2 \le (1^2 + 2^2)(u^2 + v^2)$.

$(u + 2v)^2 \le (1 + 4)(1) = 5$.

Отсюда $u + 2v \le \sqrt{5}$.

Таким образом, максимальное значение выражения $|\sin x| + 2|\cos x|$ равно $\sqrt{5}$.

Мы получили, что $\sin^3 x + 2\cos^5 x \le \sqrt{5}$.

Сравним правую часть исходного уравнения $\sqrt{10}$ с полученной оценкой $\sqrt{5}$. Так как $10 > 5$, то $\sqrt{10} > \sqrt{5}$.

Левая часть уравнения не превышает $\sqrt{5}$, поэтому она не может быть равна $\sqrt{10}$. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3)

Рассмотрим уравнение $\sin x \sin 5x \sin 17x = 1$.

Значение функции синус находится в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin \alpha \le 1$.

Произведение трех сомножителей, каждый из которых по модулю не превышает 1, может быть равно 1 только в двух случаях:

1. Все три сомножителя равны 1.

2. Два сомножителя равны -1, а один равен 1.

Рассмотрим эти случаи.

Случай 1: $\sin x = 1$, $\sin 5x = 1$ и $\sin 17x = 1$.

Из первого уравнения $\sin x = 1$ находим $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим это значение во второе уравнение:

$\sin(5x) = \sin\left(5\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 10\pi k\right) = \sin\left(\frac{4\pi+\pi}{2}\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Условие $\sin 5x = 1$ выполняется.

Подставим значение $x$ в третье уравнение:

$\sin(17x) = \sin\left(17\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)\right) = \sin\left(\frac{17\pi}{2} + 34\pi k\right) = \sin\left(\frac{16\pi+\pi}{2}\right) = \sin\left(8\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Условие $\sin 17x = 1$ также выполняется.

Следовательно, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ является решением уравнения.

Случай 2: Два сомножителя равны -1, один равен 1.

а) $\sin x = 1$, $\sin 5x = -1$, $\sin 17x = -1$. Из $\sin x = 1$ следует $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Но тогда, как мы показали выше, $\sin 5x = 1$, что противоречит условию $\sin 5x = -1$. Этот случай невозможен.

б) $\sin x = -1$, $\sin 5x = 1$, $\sin 17x = -1$. Из $\sin x = -1$ следует $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Тогда $\sin(5x) = \sin\left(5(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)\right) = \sin(-\frac{5\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Это противоречит условию $\sin 5x = 1$. Этот случай невозможен.

в) $\sin x = -1$, $\sin 5x = -1$, $\sin 17x = 1$. Из $\sin x = -1$ следует $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Тогда $\sin(17x) = \sin\left(17(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)\right) = \sin(-\frac{17\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Это противоречит условию $\sin 17x = 1$. Этот случай невозможен.

Таким образом, единственно возможным является первый случай.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4)

Рассмотрим уравнение $\cos x \cos 2x \cos 3x = 1$.

Значение функции косинус находится в пределах от -1 до 1. Произведение трех таких чисел равно 1 в следующих случаях:

1. Все три сомножителя равны 1.

2. Два сомножителя равны -1, а один равен 1.

Рассмотрим эти случаи.

Случай 1: $\cos x = 1$, $\cos 2x = 1$ и $\cos 3x = 1$.

Из первого уравнения $\cos x = 1$ находим $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим это значение во второе уравнение:

$\cos(2x) = \cos(2(2\pi k)) = \cos(4\pi k) = 1$. Условие выполняется.

Подставим в третье уравнение:

$\cos(3x) = \cos(3(2\pi k)) = \cos(6\pi k) = 1$. Условие выполняется.

Следовательно, $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ является решением.

Случай 2: Два сомножителя равны -1, один равен 1.

а) $\cos x = 1$, $\cos 2x = -1$, $\cos 3x = -1$. Из $\cos x = 1$ следует $x = 2\pi k$. Но тогда $\cos(2x) = \cos(4\pi k) = 1$, что противоречит условию $\cos 2x = -1$. Этот случай невозможен.

б) $\cos x = -1$, $\cos 2x = -1$, $\cos 3x = 1$. Из $\cos x = -1$ следует $x = \pi + 2\pi k$. Тогда $\cos(2x) = \cos(2(\pi + 2\pi k)) = \cos(2\pi + 4\pi k) = 1$, что противоречит условию $\cos 2x = -1$. Этот случай невозможен.

в) $\cos x = -1$, $\cos 2x = 1$, $\cos 3x = -1$. Из $\cos x = -1$ следует $x = \pi + 2\pi k = (2k+1)\pi$.

Подставим это значение во второе уравнение:

$\cos(2x) = \cos(2(\pi + 2\pi k)) = \cos(2\pi + 4\pi k) = 1$. Условие выполняется.

Подставим в третье уравнение:

$\cos(3x) = \cos(3(\pi + 2\pi k)) = \cos(3\pi + 6\pi k) = \cos(\pi) = -1$. Условие выполняется.

Следовательно, $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ также является решением.

Объединим полученные серии решений:

$x = 2\pi k$ (четные кратные $\pi$)

$x = \pi + 2\pi k = (2k+1)\pi$ (нечетные кратные $\pi$)

Вместе эти две серии дают все целые кратные $\pi$.

Таким образом, общее решение можно записать в виде $x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

1215. 1) $ \sin\left(\frac{3\pi}{5} + x\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{5} - \frac{x}{2}\right); $

2) $ \sin x + \frac{1}{\sin x} = \sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x}; $

3) $ \cos^2 2x + \frac{1}{\cos^2 2x} = \cos 2x + \frac{1}{\cos 2x}. $

1) Решим уравнение $\sin(\frac{3\pi}{5} + x) = 2\sin(\frac{\pi}{5} - \frac{x}{2})$.
Сделаем замену. Пусть $t = \frac{\pi}{5} - \frac{x}{2}$. Тогда $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{5} - t$, и $x = \frac{2\pi}{5} - 2t$.
Подставим это выражение для $x$ в левую часть исходного уравнения:
$\sin(\frac{3\pi}{5} + x) = \sin(\frac{3\pi}{5} + \frac{2\pi}{5} - 2t) = \sin(\frac{5\pi}{5} - 2t) = \sin(\pi - 2t)$.
Используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$, получаем $\sin(2t)$.
Правая часть уравнения равна $2\sin(t)$.
Таким образом, уравнение преобразуется к виду:
$\sin(2t) = 2\sin(t)$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$:
$2\sin(t)\cos(t) = 2\sin(t)$.
Перенесем все члены в левую часть:
$2\sin(t)\cos(t) - 2\sin(t) = 0$.
$2\sin(t)(\cos(t) - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
а) $\sin(t) = 0$.
Тогда $t = n\pi$, где $n \in Z$.
Возвращаемся к исходной переменной: $\frac{\pi}{5} - \frac{x}{2} = n\pi$.
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{5} - n\pi$.
$x = \frac{2\pi}{5} - 2n\pi$. Поскольку $n$ — любое целое число, мы можем заменить $-n$ на $n$ и записать $x = \frac{2\pi}{5} + 2n\pi$, $n \in Z$.
б) $\cos(t) - 1 = 0$, то есть $\cos(t) = 1$.
Тогда $t = 2k\pi$, где $k \in Z$.
Возвращаемся к исходной переменной: $\frac{\pi}{5} - \frac{x}{2} = 2k\pi$.
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{5} - 2k\pi$.
$x = \frac{2\pi}{5} - 4k\pi$, $k \in Z$.
Решения из случая (б) являются частным случаем решений из случая (а) (при четных $n=2k$). Поэтому общим решением является серия корней из случая (а).
Ответ: $x = \frac{2\pi}{5} + 2n\pi$, $n \in Z$.

2) Решим уравнение $\sin x + \frac{1}{\sin x} = \sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \neq 0$, следовательно $x \neq k\pi$, $k \in Z$.
Введем замену: пусть $y = \sin x + \frac{1}{\sin x}$.
Возведем обе части этого равенства в квадрат:
$y^2 = \left(\sin x + \frac{1}{\sin x}\right)^2 = \sin^2 x + 2 \cdot \sin x \cdot \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\sin^2 x} = \sin^2 x + 2 + \frac{1}{\sin^2 x}$.
Отсюда выразим правую часть исходного уравнения: $\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x} = y^2 - 2$.
Подставим все в исходное уравнение:
$y = y^2 - 2$.
Получили квадратное уравнение относительно $y$: $y^2 - y - 2 = 0$.
Корни этого уравнения (по теореме Виета или через дискриминант) равны $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.
Теперь вернемся к замене и рассмотрим два случая:
а) $\sin x + \frac{1}{\sin x} = 2$.
Умножим обе части на $\sin x$ (это возможно, так как $\sin x \neq 0$ по ОДЗ):
$\sin^2 x + 1 = 2\sin x$.
$\sin^2 x - 2\sin x + 1 = 0$.
$(\sin x - 1)^2 = 0$.
$\sin x = 1$.
$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in Z$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.
б) $\sin x + \frac{1}{\sin x} = -1$.
$\sin^2 x + 1 = -\sin x$.
$\sin^2 x + \sin x + 1 = 0$.
Пусть $t = \sin x$, тогда $t^2 + t + 1 = 0$.
Дискриминант этого квадратного уравнения $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$.
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Значит, в этом случае решений для $x$ нет.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in Z$.

3) Решим уравнение $\cos^2 2x + \frac{1}{\cos^2 2x} = \cos 2x + \frac{1}{\cos 2x}$.
Данное уравнение решается аналогично предыдущему. ОДЗ: $\cos 2x \neq 0$, следовательно $2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, то есть $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in Z$.
Введем замену: пусть $z = \cos 2x + \frac{1}{\cos 2x}$.
Тогда $z^2 = \left(\cos 2x + \frac{1}{\cos 2x}\right)^2 = \cos^2 2x + 2 + \frac{1}{\cos^2 2x}$.
Отсюда $\cos^2 2x + \frac{1}{\cos^2 2x} = z^2 - 2$.
Подставляем в исходное уравнение:
$z^2 - 2 = z$.
$z^2 - z - 2 = 0$.
Корни уравнения: $z_1 = 2$ и $z_2 = -1$.
Рассмотрим два случая:
а) $\cos 2x + \frac{1}{\cos 2x} = 2$.
Умножим на $\cos 2x$ (по ОДЗ $\cos 2x \neq 0$):
$\cos^2 2x + 1 = 2\cos 2x$.
$\cos^2 2x - 2\cos 2x + 1 = 0$.
$(\cos 2x - 1)^2 = 0$.
$\cos 2x = 1$.
$2x = 2k\pi$, $k \in Z$.
$x = k\pi$, $k \in Z$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как $\cos(2k\pi)=1\neq0$.
б) $\cos 2x + \frac{1}{\cos 2x} = -1$.
$\cos^2 2x + 1 = -\cos 2x$.
$\cos^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$.
Пусть $t = \cos 2x$, тогда $t^2 + t + 1 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, действительных корней нет.
Ответ: $x = k\pi$, $k \in Z$.

1216. Доказать, что уравнение $sin5x sin7x = 1$ не имеет корней.

Для доказательства утверждения преобразуем левую часть уравнения, используя тригонометрическую формулу произведения синусов:
$ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $

Применим эту формулу к нашему уравнению $ \sin(5x) \sin(7x) = 1 $:
$ \frac{1}{2}(\cos(7x - 5x) - \cos(7x + 5x)) = 1 $
$ \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(12x)) = 1 $
Умножим обе части уравнения на 2:
$ \cos(2x) - \cos(12x) = 2 $

Теперь проанализируем полученное уравнение. Мы знаем, что область значений функции косинус находится в промежутке от -1 до 1, то есть:
$ -1 \le \cos(2x) \le 1 $
$ -1 \le \cos(12x) \le 1 $

Разность $ \cos(2x) - \cos(12x) $ может быть равна 2 только в одном единственном случае: когда $ \cos(2x) $ принимает свое максимальное значение, а $ \cos(12x) $ — свое минимальное.
Это означает, что для существования решения должна выполняться система уравнений:
$ \begin{cases} \cos(2x) = 1 \\ \cos(12x) = -1 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:
$ \cos(2x) = 1 $
$ 2x = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ (целые числа)
$ x = \pi n $

Теперь подставим найденное значение $ x $ во второе уравнение системы, чтобы проверить, выполняется ли оно при тех же значениях $ x $:
$ \cos(12(\pi n)) = \cos(12\pi n) $
Поскольку $ 12n $ всегда является четным целым числом при любом целом $ n $, то $ 12\pi n $ — это четное число, кратное $ \pi $. Косинус от любого четного кратного $ \pi $ (например, $ \cos(0), \cos(2\pi), \cos(4\pi), \dots $) всегда равен 1.
Таким образом, $ \cos(12\pi n) = 1 $.

Однако, согласно второму уравнению системы, должно выполняться равенство $ \cos(12x) = -1 $. Мы получили противоречие: $ 1 = -1 $.
Это означает, что не существует такого значения $ x $, при котором оба уравнения системы выполнялись бы одновременно. Следовательно, система не имеет решений, а значит, и исходное уравнение $ \sin(5x) \sin(7x) = 1 $ не имеет корней.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет корней.

1217. Найти все значения $a$, при которых имеет корни уравнение $\sin^6 x + \cos^6 x = a$.

Задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $\sin^6 x + \cos^6 x = a$ имеет хотя бы один корень. Это равносильно нахождению множества значений (области значений) функции $f(x) = \sin^6 x + \cos^6 x$.

Для нахождения этого множества преобразуем выражение $\sin^6 x + \cos^6 x$. Воспользуемся формулой суммы кубов $u^3 + v^3 = (u+v)(u^2-uv+v^2)$, положив $u = \sin^2 x$ и $v = \cos^2 x$. Учитывая основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3 = (\sin^2 x + \cos^2 x)((\sin^2 x)^2 - \sin^2 x \cos^2 x + (\cos^2 x)^2) = 1 \cdot (\sin^4 x + \cos^4 x - \sin^2 x \cos^2 x)$.

Теперь преобразуем сумму $\sin^4 x + \cos^4 x$, выделив полный квадрат: $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1^2 - 2 \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$.

Подставим это обратно в выражение для $f(x)$: $f(x) = (1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x) - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$.

Для дальнейшего упрощения используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$. Возведя её в квадрат, получим $\sin^2(2x) = 4 \sin^2 x \cos^2 x$, откуда следует, что $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$. Тогда функция $f(x)$ принимает вид: $f(x) = 1 - 3 \cdot \frac{1}{4}\sin^2(2x) = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)$.

Теперь найдём область значений функции $f(x)$. Область значений $\sin(2x)$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений для $\sin^2(2x)$ — это отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le \sin^2(2x) \le 1$. Выполним преобразования с этим неравенством:
1. Умножим на $-\frac{3}{4}$ (знаки неравенства изменятся): $0 \ge -\frac{3}{4}\sin^2(2x) \ge -\frac{3}{4}$.
2. Прибавим 1 ко всем частям: $1 + 0 \ge 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x) \ge 1 - \frac{3}{4}$.
$1 \ge f(x) \ge \frac{1}{4}$.

Таким образом, область значений функции $f(x) = \sin^6 x + \cos^6 x$ есть отрезок $[\frac{1}{4}, 1]$. Уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда правая часть $a$ принадлежит этому отрезку.

Ответ: $a \in [\frac{1}{4}, 1]$.