Номер 1204, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1204. 1) $\cos3x - \cos5x = \sin4x;$

2) $\sin7x - \sin x = \cos4x;$

3) $\cos3x + \cos3x = 4\cos2x;$

4) $\sin^2 x - \cos^2 x = \cos4x.$

1)Исходное уравнение: $cos(3x) - cos(5x) = sin(4x)$.
Для преобразования левой части используем формулу разности косинусов: $cos(\alpha) - cos(\beta) = -2sin(\frac{\alpha+\beta}{2})sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$.
$cos(3x) - cos(5x) = -2sin(\frac{3x+5x}{2})sin(\frac{3x-5x}{2}) = -2sin(4x)sin(-x)$.
Поскольку $sin(-x) = -sin(x)$, выражение упрощается до $2sin(4x)sin(x)$.
Подставим результат в уравнение:
$2sin(4x)sin(x) = sin(4x)$
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$2sin(4x)sin(x) - sin(4x) = 0$
$sin(4x)(2sin(x) - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1. $sin(4x) = 0 \implies 4x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.
2. $2sin(x) - 1 = 0 \implies sin(x) = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)Исходное уравнение: $sin(7x) - sin(x) = cos(4x)$.
Для преобразования левой части используем формулу разности синусов: $sin(\alpha) - sin(\beta) = 2sin(\frac{\alpha-\beta}{2})cos(\frac{\alpha+\beta}{2})$.
$sin(7x) - sin(x) = 2sin(\frac{7x-x}{2})cos(\frac{7x+x}{2}) = 2sin(3x)cos(4x)$.
Подставим результат в уравнение:
$2sin(3x)cos(4x) = cos(4x)$
Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$2sin(3x)cos(4x) - cos(4x) = 0$
$cos(4x)(2sin(3x) - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1. $cos(4x) = 0 \implies 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$.
2. $2sin(3x) - 1 = 0 \implies sin(3x) = \frac{1}{2} \implies 3x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

3)Исходное уравнение: $cos(3x) + cos(3x) = 4cos(2x)$.
Упростим левую часть:
$2cos(3x) = 4cos(2x)$
$cos(3x) = 2cos(2x)$
Используем формулы тройного и двойного угла: $cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)$ и $cos(2x) = 2cos^2(x) - 1$.
$4cos^3(x) - 3cos(x) = 2(2cos^2(x) - 1)$
$4cos^3(x) - 4cos^2(x) - 3cos(x) + 2 = 0$
Пусть $t = cos(x)$, при этом $|t| \le 1$. Получаем кубическое уравнение:
$4t^3 - 4t^2 - 3t + 2 = 0$
Методом подбора находим, что $t = 1/2$ является корнем: $4(\frac{1}{8}) - 4(\frac{1}{4}) - 3(\frac{1}{2}) + 2 = \frac{1}{2} - 1 - \frac{3}{2} + 2 = 0$.
Разделим многочлен на $(2t-1)$:
$(2t - 1)(2t^2 - t - 2) = 0$
Получаем два уравнения:
1. $2t - 1 = 0 \implies t_1 = \frac{1}{2}$. Этот корень подходит, так как $|\frac{1}{2}| \le 1$.
2. $2t^2 - t - 2 = 0$. Решим через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17$.
$t = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$.
Проверим корни: $t_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{4} > \frac{1+4}{4} = \frac{5}{4} > 1$, не подходит.
$t_3 = \frac{1 - \sqrt{17}}{4}$. Так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $-1 < \frac{1 - \sqrt{17}}{4} < -\frac{3}{4}$, этот корень подходит.
Возвращаемся к замене $cos(x) = t$.
1. $cos(x) = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. $cos(x) = \frac{1 - \sqrt{17}}{4} \implies x = \pm arccos(\frac{1 - \sqrt{17}}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm arccos(\frac{1 - \sqrt{17}}{4}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4)Исходное уравнение: $sin^2(x) - cos^2(x) = cos(4x)$.
Левая часть уравнения является формулой косинуса двойного угла, взятой с противоположным знаком: $sin^2(x) - cos^2(x) = -(cos^2(x) - sin^2(x)) = -cos(2x)$.
Уравнение принимает вид:
$-cos(2x) = cos(4x)$
$cos(4x) + cos(2x) = 0$
Используем формулу суммы косинусов: $cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$.
$2cos(\frac{4x+2x}{2})cos(\frac{4x-2x}{2}) = 0$
$2cos(3x)cos(x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1. $cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.
2. $cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Заметим, что вторая серия решений является подмножеством первой. Например, при $k=1$ в первой серии получаем $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$, что соответствует $n=0$ во второй серии. Любое решение вида $\frac{\pi}{2} + \pi n$ можно получить из первой серии, взяв $k = 1 + 3n$.
Поэтому достаточно указать только первую, более общую, серию решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.