Номер 1198, страница 341 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1198. 1) $4\cos^3 x + 4\sin^2 x = 1 + 3\cos x;$

2) $8\sin^3 x + 4\cos^2 x = 1 + 6\sin x;$

3) $\frac{1}{\cos^2 x} = 3 + \operatorname{tg} x;$

4) $\frac{2}{\sin^2 2x} = \operatorname{ctg} 2x + 5.$

1) $4\cos^3x + 4\sin^2x = 1 + 3\cos x$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x = 1 - \cos^2x$, чтобы привести уравнение к одной функции:
$4\cos^3x + 4(1 - \cos^2x) = 1 + 3\cos x$
$4\cos^3x + 4 - 4\cos^2x = 1 + 3\cos x$
Перенесем все члены в левую часть:
$4\cos^3x - 4\cos^2x - 3\cos x + 3 = 0$
Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$. Получим кубическое уравнение:
$4t^3 - 4t^2 - 3t + 3 = 0$
Сгруппируем члены для разложения на множители:
$(4t^3 - 4t^2) - (3t - 3) = 0$
$4t^2(t - 1) - 3(t - 1) = 0$
$(t - 1)(4t^2 - 3) = 0$
Отсюда получаем два уравнения:
1) $t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1$
2) $4t^2 - 3 = 0 \Rightarrow t^2 = \frac{3}{4} \Rightarrow t = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
Все найденные значения $t$ удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
Вернемся к замене:
1) $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
3) $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = 2\pi k; \ x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \ x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}$.

2) $8\sin^3x + 4\cos^2x = 1 + 6\sin x$
Используем тождество $\cos^2x = 1 - \sin^2x$ и приведем уравнение к одной функции:
$8\sin^3x + 4(1 - \sin^2x) = 1 + 6\sin x$
$8\sin^3x + 4 - 4\sin^2x = 1 + 6\sin x$
$8\sin^3x - 4\sin^2x - 6\sin x + 3 = 0$
Сделаем замену $y = \sin x$, где $|y| \le 1$:
$8y^3 - 4y^2 - 6y + 3 = 0$
Сгруппируем члены для разложения на множители:
$(8y^3 - 4y^2) - (6y - 3) = 0$
$4y^2(2y - 1) - 3(2y - 1) = 0$
$(2y - 1)(4y^2 - 3) = 0$
Отсюда:
1) $2y - 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$
2) $4y^2 - 3 = 0 \Rightarrow y^2 = \frac{3}{4} \Rightarrow y = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
Все значения $y$ удовлетворяют условию $|y| \le 1$.
Вернемся к замене:
1) $\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = (-1)^n\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
3) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n; \ x = (-1)^n\frac{\pi}{3} + \pi n; \ x = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{3} + \pi n, \ n \in \mathbb{Z}$.

3) $\frac{1}{\cos^2x} = 3 + \mathrm{tg}\,x$
Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используем тригонометрическое тождество $1 + \mathrm{tg}^2x = \frac{1}{\cos^2x}$:
$1 + \mathrm{tg}^2x = 3 + \mathrm{tg}\,x$
$\mathrm{tg}^2x - \mathrm{tg}\,x - 2 = 0$
Сделаем замену $z = \mathrm{tg}\,x$:
$z^2 - z - 2 = 0$
По теореме Виета находим корни: $z_1 = 2$ и $z_2 = -1$.
Вернемся к замене:
1) $\mathrm{tg}\,x = 2 \Rightarrow x = \mathrm{arctg}(2) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\mathrm{tg}\,x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \mathrm{arctg}(2) + \pi k; \ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}$.

4) $\frac{2}{\sin^2(2x)} = \mathrm{ctg}(2x) + 5$
ОДЗ: $\sin(2x) \neq 0 \Rightarrow 2x \neq \pi k \Rightarrow x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Используем тождество $1 + \mathrm{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$. В нашем случае $\alpha = 2x$.
$2(1 + \mathrm{ctg}^2(2x)) = \mathrm{ctg}(2x) + 5$
$2 + 2\mathrm{ctg}^2(2x) = \mathrm{ctg}(2x) + 5$
$2\mathrm{ctg}^2(2x) - \mathrm{ctg}(2x) - 3 = 0$
Сделаем замену $u = \mathrm{ctg}(2x)$:
$2u^2 - u - 3 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.
$u_1 = \frac{1 - \sqrt{25}}{4} = \frac{1 - 5}{4} = -1$
$u_2 = \frac{1 + \sqrt{25}}{4} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Вернемся к замене:
1) $\mathrm{ctg}(2x) = -1 \Rightarrow 2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\mathrm{ctg}(2x) = \frac{3}{2} \Rightarrow 2x = \mathrm{arcctg}\left(\frac{3}{2}\right) + \pi k \Rightarrow x = \frac{1}{2}\mathrm{arcctg}\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}; \ x = \frac{1}{2}\mathrm{arcctg}\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{\pi k}{2}, \ k \in \mathbb{Z}$.