Номер 1196, страница 341 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1196. 1) $\cos x = \sin x;$

2) $\sin x + \cos x = 0;$

3) $2\sin^2 x - 5\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0;$

4) $3\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 5\cos^2 x = 0.$

1) $ \cos x = \sin x $

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Его можно записать в виде $ \sin x - \cos x = 0 $.

Проверим, могут ли быть решения при $ \cos x = 0 $. Если $ \cos x = 0 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in Z $. Для этих значений $ x $ синус равен $ \sin x = \pm 1 $. Подставив в исходное уравнение, получаем $ \pm 1 = 0 $, что является неверным равенством. Следовательно, $ \cos x \ne 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos x $.

$ \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x}{\cos x} $

$ \tan x = 1 $

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$ x = \arctan(1) + n\pi, n \in Z $

$ x = \frac{\pi}{4} + n\pi, n \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + n\pi, n \in Z $

2) $ \sin x + \cos x = 0 $

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Как и в предыдущем задании, $ \cos x \ne 0 $, так как в противном случае из уравнения следовало бы, что $ \sin x = 0 $, а синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно ($ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $).

Разделим обе части уравнения на $ \cos x $:

$ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 $

$ \tan x + 1 = 0 $

$ \tan x = -1 $

Решением этого уравнения является:

$ x = \arctan(-1) + n\pi, n \in Z $

$ x = -\frac{\pi}{4} + n\pi, n \in Z $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{4} + n\pi, n \in Z $

3) $ 2\sin^2 x - 5\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Убедимся, что $ \cos x \ne 0 $. Если предположить, что $ \cos x = 0 $, то $ \sin^2 x = 1 $. Подставляя в уравнение, получаем $ 2 \cdot 1 - 5 \cdot \sin x \cdot 0 - 3 \cdot 0 = 0 $, что приводит к неверному равенству $ 2 = 0 $. Значит, наши предположения неверны и $ \cos x \ne 0 $.

Разделим обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ 2\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 5\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 3\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ 2\tan^2 x - 5\tan x - 3 = 0 $

Это квадратное уравнение относительно $ \tan x $. Сделаем замену $ t = \tan x $.

$ 2t^2 - 5t - 3 = 0 $

Решим его через дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2 $.

Найдем корни для $ t $:

$ t_1 = \frac{5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 $

$ t_2 = \frac{5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $

Теперь вернемся к исходной переменной:

1. $ \tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + n\pi, n \in Z $

2. $ \tan x = -\frac{1}{2} \implies x = \arctan(-\frac{1}{2}) + k\pi = -\arctan(\frac{1}{2}) + k\pi, k \in Z $

Ответ: $ x = \arctan(3) + n\pi, x = -\arctan(\frac{1}{2}) + k\pi, n, k \in Z $

4) $ 3\sin^2 x - 14\sin x \cos x - 5\cos^2 x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Как и в предыдущем случае, $ \cos x \ne 0 $, иначе подстановка $ \cos x = 0 $ и $ \sin^2 x = 1 $ в уравнение дала бы $ 3 \cdot 1 - 0 - 0 = 0 $, то есть $ 3 = 0 $, что неверно.

Разделим обе части уравнения на $ \cos^2 x $:

$ 3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 14\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 5\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 $

$ 3\tan^2 x - 14\tan x - 5 = 0 $

Сделаем замену $ t = \tan x $ и решим полученное квадратное уравнение:

$ 3t^2 - 14t - 5 = 0 $

Дискриминант: $ D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 196 + 60 = 256 = 16^2 $.

Корни для $ t $:

$ t_1 = \frac{14 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5 $

$ t_2 = \frac{14 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $

Возвращаемся к $ x $:

1. $ \tan x = 5 \implies x = \arctan(5) + n\pi, n \in Z $

2. $ \tan x = -\frac{1}{3} \implies x = \arctan(-\frac{1}{3}) + k\pi = -\arctan(\frac{1}{3}) + k\pi, k \in Z $

Ответ: $ x = \arctan(5) + n\pi, x = -\arctan(\frac{1}{3}) + k\pi, n, k \in Z $