Номер 1201, страница 341 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1201. Найти все a, при которых имеет корни уравнение:

1) $a \sin x + (1+a)\cos x = \sqrt{5};$

2) $a \cos x + (1-a)\sin x = \sqrt{5}.$

1) Уравнение вида $A \sin x + B \cos x = C$ имеет корни тогда и только тогда, когда выполняется условие $A^2 + B^2 \ge C^2$. Это условие следует из того, что область значений функции $y = A \sin x + B \cos x$ есть отрезок $[-\sqrt{A^2+B^2}, \sqrt{A^2+B^2}]$. Следовательно, чтобы уравнение имело решение, правая часть $C$ должна попадать в этот отрезок, что эквивалентно неравенству $|C| \le \sqrt{A^2+B^2}$ или $C^2 \le A^2+B^2$.

Для данного уравнения $a \sin x + (1+a) \cos x = \sqrt{5}$ имеем коэффициенты: $A = a$, $B = 1+a$, $C = \sqrt{5}$.

Подставим эти значения в условие существования корней:

$a^2 + (1+a)^2 \ge (\sqrt{5})^2$

Раскроем скобки и решим полученное неравенство:

$a^2 + 1 + 2a + a^2 \ge 5$

$2a^2 + 2a + 1 \ge 5$

$2a^2 + 2a - 4 \ge 0$

Разделим обе части на 2:

$a^2 + a - 2 \ge 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $a^2 + a - 2 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни $a_1 = 1$ и $a_2 = -2$.

Неравенство можно представить в виде $(a-1)(a+2) \ge 0$. Графиком функции $y = a^2 + a - 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) при значениях $a$, которые лежат вне интервала между корнями.

Таким образом, решением является объединение промежутков $a \le -2$ и $a \ge 1$.

Ответ: $a \in (-\infty, -2] \cup [1, +\infty)$.

2) Применим тот же метод для уравнения $a \cos x + (1-a) \sin x = \sqrt{5}$. Перепишем его в стандартном виде $(1-a) \sin x + a \cos x = \sqrt{5}$.

Здесь коэффициенты: $A = 1-a$, $B = a$, $C = \sqrt{5}$.

Условие существования корней $A^2 + B^2 \ge C^2$ принимает вид:

$(1-a)^2 + a^2 \ge (\sqrt{5})^2$

Раскроем скобки и упростим неравенство:

$1 - 2a + a^2 + a^2 \ge 5$

$2a^2 - 2a + 1 \ge 5$

$2a^2 - 2a - 4 \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$a^2 - a - 2 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $a^2 - a - 2 = 0$. Корнями являются $a_1 = 2$ и $a_2 = -1$.

Неравенство можно переписать как $(a-2)(a+1) \ge 0$. Графиком функции $y = a^2 - a - 2$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $a$ находится вне интервала между корнями.

Следовательно, решением является объединение промежутков $a \le -1$ и $a \ge 2$.

Ответ: $a \in (-\infty, -1] \cup [2, +\infty)$.