Номер 1202, страница 341 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1202. Найти все значения $a$, при которых имеет решение уравнение $(a^2 + 2)\sin^2 x - 4a\sin x \cos x = a^2 + 3.$

Для того чтобы найти все значения параметра $a$, при которых данное уравнение имеет решение, преобразуем его.

Исходное уравнение: $(a^2 + 2)\sin^2 x - 4a\sin x \cos x = a^2 + 3$.

Рассмотрим случай, когда $\cos x = 0$. Тогда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$, и $\sin^2 x = 1$. Подставив эти значения в уравнение, получим:

$(a^2 + 2) \cdot 1 - 4a\sin x \cdot 0 = a^2 + 3$

$a^2 + 2 = a^2 + 3$

$2 = 3$

Это неверное равенство, следовательно, $\cos x \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$, который не равен нулю:

$\frac{(a^2 + 2)\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4a\sin x \cos x}{\cos^2 x} = \frac{a^2 + 3}{\cos^2 x}$

Используя тригонометрические тождества $\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$ и $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \text{tg}^2 x$, получаем:

$(a^2 + 2)\text{tg}^2 x - 4a \text{ tg } x = (a^2 + 3)(1 + \text{tg}^2 x)$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 + 2)\text{tg}^2 x - 4a \text{ tg } x - (a^2 + 3) - (a^2 + 3)\text{tg}^2 x = 0$

$(a^2 + 2 - a^2 - 3)\text{tg}^2 x - 4a \text{ tg } x - (a^2 + 3) = 0$

$-\text{tg}^2 x - 4a \text{ tg } x - (a^2 + 3) = 0$

Умножим обе части на $-1$:

$\text{tg}^2 x + 4a \text{ tg } x + a^2 + 3 = 0$

Сделаем замену $t = \text{tg } x$. Поскольку функция тангенса может принимать любое действительное значение, исходное уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение относительно $t$ будет иметь хотя бы один действительный корень.

$t^2 + 4at + (a^2 + 3) = 0$

Квадратное уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

$D = (4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 3) = 16a^2 - 4a^2 - 12 = 12a^2 - 12$

Теперь решим неравенство $D \ge 0$:

$12a^2 - 12 \ge 0$

$12(a^2 - 1) \ge 0$

$a^2 - 1 \ge 0$

$a^2 \ge 1$

Это неравенство выполняется при $a \le -1$ или $a \ge 1$.

Ответ: $a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.