Номер 1200, страница 341 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1200. 1) $\sin^3 x + \sin^2 x \cos x = 2\cos^3 x$;

2) $\sin^3 x - \sin^2 x \cos x + 2\cos^3 x = 0.$

1) Решим уравнение $\sin^3x + \sin^2x \cos x = 2\cos^3x$.

Это однородное тригонометрическое уравнение третьей степени. Сначала проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2x + \cos^2x = 1$ следует, что $\sin^2x = 1$. Подставив $\cos x = 0$ в исходное уравнение, получим: $\sin^3x + \sin^2x \cdot 0 = 2 \cdot 0^3$, что приводит к $\sin^3x = 0$, то есть $\sin x = 0$. Синус и косинус одного и того же угла не могут быть равны нулю одновременно, так как $\sin^2x + \cos^2x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^3x$, так как мы установили, что он не равен нулю:

$\frac{\sin^3x}{\cos^3x} + \frac{\sin^2x \cos x}{\cos^3x} = \frac{2\cos^3x}{\cos^3x}$

$\tan^3x + \tan^2x = 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$\tan^3x + \tan^2x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \tan x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^3 + t^2 - 2 = 0$

Это кубическое уравнение. Найдем его корни. Попробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (-2), то есть среди чисел $\pm1, \pm2$. При $t=1$ получаем: $1^3 + 1^2 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Значит, $t=1$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $t^3 + t^2 - 2$ на $(t-1)$:

$(t^3 + t^2 - 2) : (t-1) = t^2 + 2t + 2$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(t-1)(t^2 + 2t + 2) = 0$

Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $t - 1 = 0 \implies t = 1$.

2. $t^2 + 2t + 2 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$, действительных корней у этого уравнения нет.

Единственным действительным решением для $t$ является $t=1$. Возвращаемся к замене:

$\tan x = 1$

Решением этого уравнения является $x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\sin^3x - \sin^2x \cos x + 2\cos^3x = 0$.

Это также однородное тригонометрическое уравнение третьей степени. Как и в предыдущем случае, проверим $\cos x = 0$. Подстановка в уравнение дает $\sin^3x = 0$, что означает $\sin x = 0$. Одновременное равенство нулю синуса и косинуса невозможно. Значит, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^3x$:

$\frac{\sin^3x}{\cos^3x} - \frac{\sin^2x \cos x}{\cos^3x} + \frac{2\cos^3x}{\cos^3x} = 0$

$\tan^3x - \tan^2x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \tan x$:

$t^3 - t^2 + 2 = 0$

Будем искать целочисленные корни среди делителей свободного члена (2): $\pm1, \pm2$. При $t=-1$ получаем: $(-1)^3 - (-1)^2 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$. Значит, $t=-1$ является корнем. Разделим многочлен $t^3 - t^2 + 2$ на $(t+1)$:

$(t^3 - t^2 + 2) : (t+1) = t^2 - 2t + 2$.

Уравнение можно переписать в виде:

$(t+1)(t^2 - 2t + 2) = 0$

Рассмотрим два случая:

1. $t + 1 = 0 \implies t = -1$.

2. $t^2 - 2t + 2 = 0$. Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Единственным решением для $t$ является $t=-1$. Сделаем обратную замену:

$\tan x = -1$

Решением этого уравнения является $x = \arctan(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.