Номер 1205, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1205. 1) $\sqrt{3}\sin x \cos x = \sin^2 x$;

2) $2\sin x \cos x = \cos x$;

3) $\sin 4x + \sin^2 2x = 0$;

4) $\sin 2x + 2\cos^2 x = 0$.

1) $\sqrt{3}\sin x \cos x = \sin^2 x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$\sin^2 x - \sqrt{3}\sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x - \sqrt{3}\cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $\sin x = 0$

Отсюда $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0$

Перенесем $\sqrt{3}\cos x$ в правую часть:

$\sin x = \sqrt{3}\cos x$

Если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Поэтому можно разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = \sqrt{3}$

$\tan x = \sqrt{3}$

Отсюда $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем:

Ответ: $x = \pi k$, $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\sin x \cos x = \cos x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$2\sin x \cos x - \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2\sin x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $\cos x = 0$

Отсюда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin x - 1 = 0$

$2\sin x = 1$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Отсюда $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем:

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin 4x + \sin^2 2x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. В нашем случае $\alpha=2x$, поэтому $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$.

Подставим это в уравнение:

$2\sin 2x \cos 2x + \sin^2 2x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 2x$ за скобки:

$\sin 2x (2\cos 2x + \sin 2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $\sin 2x = 0$

$2x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos 2x + \sin 2x = 0$

$\sin 2x = -2\cos 2x$

Разделим обе части на $\cos 2x$ (это возможно, так как если $\cos 2x = 0$, то и $\sin 2x = 0$, что одновременно невозможно):

$\tan 2x = -2$

$2x = \arctan(-2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2x = -\arctan 2 + \pi n$

$x = -\frac{1}{2}\arctan 2 + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем:

Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}$, $x = -\frac{1}{2}\arctan 2 + \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin 2x + 2\cos^2 x = 0$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

Подставим это в уравнение:

$2\sin x \cos x + 2\cos^2 x = 0$

Вынесем общий множитель $2\cos x$ за скобки:

$2\cos x (\sin x + \cos x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $2\cos x = 0 \implies \cos x = 0$

Отсюда $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x + \cos x = 0$

$\sin x = -\cos x$

Разделим обе части на $\cos x$ (это возможно, так как если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что одновременно невозможно):

$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$

$\tan x = -1$

Отсюда $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем:

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.