Номер 1206, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1206. 1) $2\sin^2 x = 1 + \frac{1}{3}\sin 4x;$

2) $2\cos^2 2x - 1 = \sin 4x;$

3) $2\cos^2 2x + 3\cos^2 x = 2;$

4) $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \cos x.$

1) $2\sin^2 x = 1 + \frac{1}{3}\sin 4x$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени для синуса $2\sin^2 x = 1 - \cos 2x$ и формулой двойного угла для синуса $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$.

Подставим эти формулы в исходное уравнение:

$1 - \cos 2x = 1 + \frac{1}{3}(2\sin 2x \cos 2x)$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$-\cos 2x = \frac{2}{3}\sin 2x \cos 2x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\frac{2}{3}\sin 2x \cos 2x + \cos 2x = 0$

Вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки:

$\cos 2x (\frac{2}{3}\sin 2x + 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

а) $\cos 2x = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

б) $\frac{2}{3}\sin 2x + 1 = 0$

$\frac{2}{3}\sin 2x = -1$

$\sin 2x = -\frac{3}{2}$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синуса $[-1, 1]$, а $-\frac{3}{2} < -1$.

Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

2) $2\cos^2 2x - 1 = \sin 4x$

Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса $2\cos^2 A - 1 = \cos 2A$. В нашем случае $A=2x$, поэтому левая часть уравнения равна $\cos(2 \cdot 2x) = \cos 4x$.

Уравнение принимает вид:

$\cos 4x = \sin 4x$

Разделим обе части уравнения на $\cos 4x$. Это можно сделать, так как если $\cos 4x = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin 4x = 0$, что невозможно одновременно из-за основного тригонометрического тождества $\sin^2 4x + \cos^2 4x = 1$.

$\frac{\sin 4x}{\cos 4x} = 1$

$\tan 4x = 1$

Найдем корни:

$4x = \arctan(1) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$4x = \frac{\pi}{4} + \pi k$

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) $2\cos^2 2x + 3\cos^2 x = 2$

Применим формулу понижения степени для косинуса $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$, чтобы привести уравнение к одному аргументу $2x$.

$2\cos^2 2x + 3\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) = 2$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$4\cos^2 2x + 3(1 + \cos 2x) = 4$

$4\cos^2 2x + 3 + 3\cos 2x = 4$

$4\cos^2 2x + 3\cos 2x - 1 = 0$

Сделаем замену $y = \cos 2x$. Получим квадратное уравнение:

$4y^2 + 3y - 1 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(4)(-1) = 9 + 16 = 25$.

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 5}{8}$

$y_1 = \frac{-3+5}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$y_2 = \frac{-3-5}{8} = \frac{-8}{8} = -1$

Вернемся к замене:

а) $\cos 2x = \frac{1}{4}$

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{1}{2}\arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

б) $\cos 2x = -1$

$2x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{1}{2}\arccos\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.

4) $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \cos x$

Раскроем квадрат в левой части уравнения:

$\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \cos x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, упростим левую часть:

$1 + 2\sin x \cos x = 1 + \cos x$

Вычтем 1 из обеих частей:

$2\sin x \cos x = \cos x$

Перенесем все в одну сторону:

$2\sin x \cos x - \cos x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2\sin x - 1) = 0$

Уравнение распадается на два:

а) $\cos x = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

б) $2\sin x - 1 = 0$

$2\sin x = 1$

$\sin x = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, $n, k \in \mathbb{Z}$.