Номер 1213, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Дано уравнение $4\sin3x + \sin5x - 2\sin x \cos2x = 0$.

Используем формулу произведения синуса на косинус: $2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)$.

Применим ее к члену $2\sin x \cos2x$:

$2\sin x \cos2x = \sin(x+2x) + \sin(x-2x) = \sin(3x) + \sin(-x) = \sin(3x) - \sin x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4\sin3x + \sin5x - (\sin3x - \sin x) = 0$

$4\sin3x + \sin5x - \sin3x + \sin x = 0$

$3\sin3x + (\sin5x + \sin x) = 0$

Теперь используем формулу суммы синусов: $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

Применим ее к выражению $(\sin5x + \sin x)$:

$\sin5x + \sin x = 2\sin\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2} = 2\sin3x\cos2x$.

Подставим обратно в уравнение:

$3\sin3x + 2\sin3x\cos2x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin3x$ за скобки:

$\sin3x(3 + 2\cos2x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\sin3x = 0$

$3x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{k\pi}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $3 + 2\cos2x = 0$

$2\cos2x = -3$

$\cos2x = -1.5$

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$.

Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение $6\cos2x \sin x + 7\sin2x = 0$.

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin2x = 2\sin x \cos x$.

$6\cos2x \sin x + 7(2\sin x \cos x) = 0$

$6\cos2x \sin x + 14\sin x \cos x = 0$

Вынесем общий множитель $2\sin x$ за скобки:

$2\sin x (3\cos2x + 7\cos x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $2\sin x = 0 \implies \sin x = 0$

$x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $3\cos2x + 7\cos x = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos2x = 2\cos^2x - 1$.

$3(2\cos^2x - 1) + 7\cos x = 0$

$6\cos^2x - 3 + 7\cos x = 0$

$6\cos^2x + 7\cos x - 3 = 0$

Сделаем замену $y = \cos x$. Получим квадратное уравнение:

$6y^2 + 7y - 3 = 0$

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(6)(-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

$y_{1,2} = \frac{-7 \pm 11}{12}$

$y_1 = \frac{-7+11}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-7-11}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$

Вернемся к замене:

$\cos x = \frac{1}{3}$. Так как $|\frac{1}{3}| \le 1$, то решения есть: $x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\cos x = -\frac{3}{2}$. Так как $-\frac{3}{2} < -1$, решений нет.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = k\pi, x = \pm \arccos\left(\frac{1}{3}\right) + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение $\sin x \sin5x = 1$.

Область значений функции синус: $E(\sin) = [-1, 1]$. Произведение двух синусов может равняться 1 только в двух случаях:

Случай 1: Оба множителя равны 1.

$\begin{cases} \sin x = 1 \\ \sin 5x = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим это решение во второе уравнение, чтобы проверить его:

$\sin(5x) = \sin\left(5\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 10k\pi\right) = \sin\left(\frac{4\pi+\pi}{2}\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Условие выполняется. Следовательно, $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ является решением.

Случай 2: Оба множителя равны -1.

$\begin{cases} \sin x = -1 \\ \sin 5x = -1 \end{cases}$

Из первого уравнения: $x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Подставим это решение во второе уравнение:

$\sin(5x) = \sin\left(5\left(-\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right)\right) = \sin\left(-\frac{5\pi}{2} + 10n\pi\right) = \sin\left(-\frac{5\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = -1$.

Условие выполняется. Следовательно, $x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi$ также является решением.

Объединим две серии решений: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ и $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$. Их можно записать в виде одной формулы: $x = \frac{\pi}{2} + m\pi$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Дано уравнение $\sin x \cos4x = -1$.

Область значений функций синус и косинус: $[-1, 1]$. Произведение $\sin x \cos 4x$ может равняться -1 только в двух случаях:

Случай 1: $\sin x = 1$ и $\cos 4x = -1$.

Из $\sin x = 1$ следует, что $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, выполняется ли второе условие для этих значений $x$:

$\cos(4x) = \cos\left(4\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)\right) = \cos(2\pi + 8k\pi) = \cos(2\pi) = 1$.

Получили $1$, а требовалось $-1$. $1 \neq -1$, значит, в этом случае решений нет.

Случай 2: $\sin x = -1$ и $\cos 4x = 1$.

Из $\sin x = -1$ следует, что $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, выполняется ли второе условие для этих значений $x$:

$\cos(4x) = \cos\left(4\left(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right)\right) = \cos(-2\pi + 8k\pi) = \cos(-2\pi) = 1$.

Получили $1$, что соответствует условию. Значит, эта серия корней является решением.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$.