Номер 1220, страница 348 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1220. 1) $\begin{cases} \tan x + \tan y = 1, \\ \cos x \cos y = \frac{1}{\sqrt{2}}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \tan x \tan y = 1, \\ \sin x \cos y + \cot x \tan y = \frac{1}{2}. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \tg x + \tg y = 1, \\ \cos x \cos y = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x \neq 0$ и $\cos y \neq 0$, что выполняется согласно второму уравнению.

Преобразуем первое уравнение, используя определение тангенса:

$\tg x + \tg y = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{\sin(x+y)}{\cos x \cos y}$

Подставим в это выражение значения из исходной системы:

$\frac{\sin(x+y)}{1/\sqrt{2}} = 1 \implies \sin(x+y) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Теперь преобразуем второе уравнение, используя формулу произведения косинусов:

$\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y))$

$\frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y)) = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \cos(x+y) + \cos(x-y) = \sqrt{2}$

Из уравнения $\sin(x+y) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ найдем $\cos(x+y)$.

$\cos^2(x+y) = 1 - \sin^2(x+y) = 1 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Отсюда $\cos(x+y) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ или $\cos(x+y) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\cos(x+y) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Подставим это значение в уравнение $\cos(x+y) + \cos(x-y) = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \cos(x-y) = \sqrt{2} \implies \cos(x-y) = \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Случай 2: $\cos(x+y) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Подставим это значение:

$-\frac{1}{\sqrt{2}} + \cos(x-y) = \sqrt{2} \implies \cos(x-y) = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$

Так как $\frac{3}{\sqrt{2}} > 1$, в этом случае решений нет.

Таким образом, мы должны решить систему:

$ \begin{cases} \cos(x+y) = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos(x-y) = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} $

При этом должно выполняться условие $\sin(x+y) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Из $\cos(x+y) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ следует $x+y = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z$. Условию $\sin(x+y) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ удовлетворяет только $x+y = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Из $\cos(x-y) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ следует $x-y = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$.

Получаем две системы для нахождения $x$ и $y$:

А) $\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \\ x-y = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi(n+k) \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi(n+k)$.

Вычитая второе из первого, получаем $2y = 2\pi(n-k) \implies y = \pi(n-k)$.

Б) $\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \\ x-y = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = 2\pi(n+k) \implies x = \pi(n+k)$.

Вычитая второе из первого, получаем $2y = \frac{\pi}{2} + 2\pi(n-k) \implies y = \frac{\pi}{4} + \pi(n-k)$.

Заметим, что числа $p = n+k$ и $q = n-k$ всегда имеют одинаковую четность, так как их разность $p-q = 2k$ является четным числом. В силу симметрии исходной системы, решения можно записать в виде двух серий:

1. $x = \frac{\pi}{4} + p\pi, y = q\pi$, где $p,q \in Z$ и имеют одинаковую четность.

2. $x = p\pi, y = \frac{\pi}{4} + q\pi$, где $p,q \in Z$ и имеют одинаковую четность.

Ответ: $(\frac{\pi}{4} + p\pi, q\pi)$, $(p\pi, \frac{\pi}{4} + q\pi)$, где $p, q$ - целые числа одинаковой четности.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \tg x \tg y = 1, \\ \sin x \cos y + \ctg x \tg y = \frac{1}{2} \end{cases} $

ОДЗ: $\cos x \neq 0, \cos y \neq 0, \sin x \neq 0$. Из первого уравнения $\tg y = 1/\tg x = \ctg x$, значит $\sin y \neq 0$.

Из первого уравнения $\tg x \tg y = 1 \implies \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = 1 \implies \sin x \sin y = \cos x \cos y$.

Это равенство эквивалентно $\cos x \cos y - \sin x \sin y = 0$, то есть $\cos(x+y) = 0$.

Отсюда $x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

Преобразуем второе уравнение, используя то, что $\tg y = \ctg x$:

$\sin x \cos y + \ctg x (\ctg x) = \frac{1}{2} \implies \sin x \cos y + \ctg^2 x = \frac{1}{2}$

Из $x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n$ выразим $y = \frac{\pi}{2} - x + \pi n$. Тогда:

$\cos y = \cos(\frac{\pi}{2} - x + \pi n)$.

Если $n$ четное ($n=2k$), $\cos y = \cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$.

Если $n$ нечетное ($n=2k+1$), $\cos y = \cos(\frac{3\pi}{2}-x) = -\sin x$.

В общем виде, $\cos y = (-1)^n \sin x$.

Подставим это во второе уравнение: $\sin x ((-1)^n \sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{2}$.

$(-1)^n \sin^2 x + \frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{2}$.

Сделаем замену $u = \sin^2 x$. Так как $\sin x \neq 0$, то $u \in (0, 1]$.

$(-1)^n u + \frac{1-u}{u} = \frac{1}{2}$.

Случай 1: $n$ - четное число.

$u + \frac{1-u}{u} = \frac{1}{2} \implies u^2 + 1 - u = \frac{u}{2} \implies 2u^2 - 3u + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(2)(2) = 9-16 = -7 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $n$ - нечетное число.

$-u + \frac{1-u}{u} = \frac{1}{2} \implies -u^2 + 1 - u = \frac{u}{2} \implies -2u^2 - 3u + 2 = 0 \implies 2u^2 + 3u - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4(2)(-2) = 9+16 = 25$.

$u = \frac{-3 \pm 5}{4}$. Корни $u_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $u_2 = \frac{-8}{4} = -2$.

Так как $u = \sin^2 x$, подходит только $u=\frac{1}{2}$.

Итак, $\sin^2 x = \frac{1}{2}$, а $n$ - нечетное, то есть $x+y = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ для некоторого $k \in Z$.

Из $\sin^2 x = \frac{1}{2}$ следует, что $\tg^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1/2}{1-1/2} = 1$, так что $\tg x = \pm 1$.

Поскольку $\tg y = \ctg x = 1/\tg x$, то $\tg y = \tg x$.

Рассмотрим два варианта для $\tg x$:

А) $\tg x = 1$. Тогда и $\tg y = 1$.

$x = \frac{\pi}{4} + p\pi, y = \frac{\pi}{4} + q\pi$ для $p,q \in Z$.

Проверим второе уравнение: $\sin x \cos y + \ctg x \tg y = \frac{1}{2}$.

$\sin(\frac{\pi}{4}+p\pi)\cos(\frac{\pi}{4}+q\pi) + (1)(1) = \frac{1}{2}$.

$(\frac{(-1)^p}{\sqrt{2}})(\frac{(-1)^q}{\sqrt{2}}) + 1 = \frac{1}{2} \implies \frac{(-1)^{p+q}}{2} + 1 = \frac{1}{2} \implies (-1)^{p+q} = -1$.

Это верно, если $p+q$ - нечетное число, т.е. $p$ и $q$ имеют разную четность.

Б) $\tg x = -1$. Тогда и $\tg y = -1$.

$x = \frac{3\pi}{4} + p\pi, y = \frac{3\pi}{4} + q\pi$ для $p,q \in Z$.

Проверим второе уравнение: $\sin x \cos y + \ctg x \tg y = \frac{1}{2}$.

$\sin(\frac{3\pi}{4}+p\pi)\cos(\frac{3\pi}{4}+q\pi) + (-1)(-1) = \frac{1}{2}$.

$(\frac{(-1)^p}{\sqrt{2}})(\frac{(-1)^{q+1}}{\sqrt{2}}) + 1 = \frac{1}{2} \implies \frac{(-1)^{p+q+1}}{2} + 1 = \frac{1}{2} \implies (-1)^{p+q+1} = -1$.

Это верно, если $p+q+1$ - нечетное число, т.е. $p+q$ - четное число, а значит $p$ и $q$ имеют одинаковую четность.

Ответ: $(x,y)$ принадлежат объединению двух множеств:
1) $x = \frac{\pi}{4} + p\pi, y = \frac{\pi}{4} + q\pi$, где $p, q$ - целые числа разной четности.
2) $x = \frac{3\pi}{4} + p\pi, y = \frac{3\pi}{4} + q\pi$, где $p, q$ - целые числа одинаковой четности.