Номер 1222, страница 351 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1222. 1) $\cos x \le \sqrt{3}$;

2) $\cos x < -2$;

3) $\cos x \ge 1$;

4) $\cos x \le -1$.

1) $\cos x \le \sqrt{3}$

Область значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $-1 \le \cos x \le 1$.

Оценим правую часть исходного неравенства. Так как $1 < 3$, то $\sqrt{1} < \sqrt{3}$, следовательно $1 < \sqrt{3}$.

Поскольку максимальное значение $\cos x$ равно 1, а $1 < \sqrt{3}$, то неравенство $\cos x \le \sqrt{3}$ будет верным для любого значения $x$.

Ответ: $x \in R$ (любое действительное число).

2) $\cos x < -2$

Область значений функции косинус — это отрезок $[-1; 1]$. Минимальное значение, которое может принимать $\cos x$, равно -1.

Неравенство требует, чтобы значение $\cos x$ было меньше -2, что невозможно, так как $\cos x \ge -1$ для любого $x$.

Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

3) $\cos x \ge 1$

Известно, что область значений функции косинус — $[-1; 1]$. Это значит, что $\cos x$ не может быть больше 1.

Следовательно, неравенство $\cos x \ge 1$ выполняется только в том случае, когда $\cos x = 1$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решениями уравнения $\cos x = 1$ являются значения $x$, которые соответствуют точкам на единичной окружности с абсциссой 1.

Это происходит при углах $0, 2\pi, -2\pi, 4\pi, \ldots$ Общая формула для решений имеет вид:

$x = 2\pi n$, где $n \in Z$ (n — любое целое число).

Ответ: $x = 2\pi n, n \in Z$.

4) $\cos x \le -1$

Область значений функции косинус — $[-1; 1]$. Это значит, что $\cos x$ не может быть меньше -1.

Следовательно, неравенство $\cos x \le -1$ выполняется только в том случае, когда $\cos x = -1$.

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решениями уравнения $\cos x = -1$ являются значения $x$, которые соответствуют точкам на единичной окружности с абсциссой -1.

Это происходит при углах $\pi, 3\pi, -\pi, 5\pi, \ldots$ Общая формула для решений имеет вид:

$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in Z$ (n — любое целое число).

Ответ: $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$.