Номер 1215, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава IX. Тригонометрические уравнения. §5. Методы замены неизвестного и разложения на множители. Метод оценки левой и правой частей тригонометрического уравнения - номер 1215, страница 346.

Условие.

1215. 1) $\sin\left(\frac{3\pi}{5} + x\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{5} - \frac{x}{2}\right);$

2) $\sin x + \frac{1}{\sin x} = \sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x};$

3) $\cos^2 2x + \frac{1}{\cos^2 2x} = \cos 2x + \frac{1}{\cos 2x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

1) Решим уравнение $\sin(\frac{3\pi}{5} + x) = 2\sin(\frac{\pi}{5} - \frac{x}{2})$.
Сделаем замену. Пусть $t = \frac{\pi}{5} - \frac{x}{2}$. Тогда $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{5} - t$, и $x = \frac{2\pi}{5} - 2t$.
Подставим это выражение для $x$ в левую часть исходного уравнения:
$\sin(\frac{3\pi}{5} + x) = \sin(\frac{3\pi}{5} + \frac{2\pi}{5} - 2t) = \sin(\frac{5\pi}{5} - 2t) = \sin(\pi - 2t)$.
Используя формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$, получаем $\sin(2t)$.
Правая часть уравнения равна $2\sin(t)$.
Таким образом, уравнение преобразуется к виду:
$\sin(2t) = 2\sin(t)$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)$:
$2\sin(t)\cos(t) = 2\sin(t)$.
Перенесем все члены в левую часть:
$2\sin(t)\cos(t) - 2\sin(t) = 0$.
$2\sin(t)(\cos(t) - 1) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
а) $\sin(t) = 0$.
Тогда $t = n\pi$, где $n \in Z$.
Возвращаемся к исходной переменной: $\frac{\pi}{5} - \frac{x}{2} = n\pi$.
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{5} - n\pi$.
$x = \frac{2\pi}{5} - 2n\pi$. Поскольку $n$ — любое целое число, мы можем заменить $-n$ на $n$ и записать $x = \frac{2\pi}{5} + 2n\pi$, $n \in Z$.
б) $\cos(t) - 1 = 0$, то есть $\cos(t) = 1$.
Тогда $t = 2k\pi$, где $k \in Z$.
Возвращаемся к исходной переменной: $\frac{\pi}{5} - \frac{x}{2} = 2k\pi$.
$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{5} - 2k\pi$.
$x = \frac{2\pi}{5} - 4k\pi$, $k \in Z$.
Решения из случая (б) являются частным случаем решений из случая (а) (при четных $n=2k$). Поэтому общим решением является серия корней из случая (а).
Ответ: $x = \frac{2\pi}{5} + 2n\pi$, $n \in Z$.

2) Решим уравнение $\sin x + \frac{1}{\sin x} = \sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin x \neq 0$, следовательно $x \neq k\pi$, $k \in Z$.
Введем замену: пусть $y = \sin x + \frac{1}{\sin x}$.
Возведем обе части этого равенства в квадрат:
$y^2 = \left(\sin x + \frac{1}{\sin x}\right)^2 = \sin^2 x + 2 \cdot \sin x \cdot \frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\sin^2 x} = \sin^2 x + 2 + \frac{1}{\sin^2 x}$.
Отсюда выразим правую часть исходного уравнения: $\sin^2 x + \frac{1}{\sin^2 x} = y^2 - 2$.
Подставим все в исходное уравнение:
$y = y^2 - 2$.
Получили квадратное уравнение относительно $y$: $y^2 - y - 2 = 0$.
Корни этого уравнения (по теореме Виета или через дискриминант) равны $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.
Теперь вернемся к замене и рассмотрим два случая:
а) $\sin x + \frac{1}{\sin x} = 2$.
Умножим обе части на $\sin x$ (это возможно, так как $\sin x \neq 0$ по ОДЗ):
$\sin^2 x + 1 = 2\sin x$.
$\sin^2 x - 2\sin x + 1 = 0$.
$(\sin x - 1)^2 = 0$.
$\sin x = 1$.
$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in Z$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ.
б) $\sin x + \frac{1}{\sin x} = -1$.
$\sin^2 x + 1 = -\sin x$.
$\sin^2 x + \sin x + 1 = 0$.
Пусть $t = \sin x$, тогда $t^2 + t + 1 = 0$.
Дискриминант этого квадратного уравнения $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$.
Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Значит, в этом случае решений для $x$ нет.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in Z$.

3) Решим уравнение $\cos^2 2x + \frac{1}{\cos^2 2x} = \cos 2x + \frac{1}{\cos 2x}$.
Данное уравнение решается аналогично предыдущему. ОДЗ: $\cos 2x \neq 0$, следовательно $2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, то есть $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in Z$.
Введем замену: пусть $z = \cos 2x + \frac{1}{\cos 2x}$.
Тогда $z^2 = \left(\cos 2x + \frac{1}{\cos 2x}\right)^2 = \cos^2 2x + 2 + \frac{1}{\cos^2 2x}$.
Отсюда $\cos^2 2x + \frac{1}{\cos^2 2x} = z^2 - 2$.
Подставляем в исходное уравнение:
$z^2 - 2 = z$.
$z^2 - z - 2 = 0$.
Корни уравнения: $z_1 = 2$ и $z_2 = -1$.
Рассмотрим два случая:
а) $\cos 2x + \frac{1}{\cos 2x} = 2$.
Умножим на $\cos 2x$ (по ОДЗ $\cos 2x \neq 0$):
$\cos^2 2x + 1 = 2\cos 2x$.
$\cos^2 2x - 2\cos 2x + 1 = 0$.
$(\cos 2x - 1)^2 = 0$.
$\cos 2x = 1$.
$2x = 2k\pi$, $k \in Z$.
$x = k\pi$, $k \in Z$. Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как $\cos(2k\pi)=1\neq0$.
б) $\cos 2x + \frac{1}{\cos 2x} = -1$.
$\cos^2 2x + 1 = -\cos 2x$.
$\cos^2 2x + \cos 2x + 1 = 0$.
Пусть $t = \cos 2x$, тогда $t^2 + t + 1 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$, действительных корней нет.
Ответ: $x = k\pi$, $k \in Z$.