Номер 1209, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1209. 1) $4\sin x \cos x \cos 2x = \sin^2 4x;$

2) $1 + \cos^2 x = \sin^4 x.$

1) Решим уравнение $4 \sin x \cos x \cos 2x = \sin^2 4x$.

Сначала преобразуем левую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.

Выражение $4 \sin x \cos x$ можно переписать как $2 \cdot (2 \sin x \cos x) = 2 \sin 2x$.

Тогда левая часть уравнения становится $2 \sin 2x \cos 2x$.

Применив формулу синуса двойного угла еще раз, получим:

$2 \sin 2x \cos 2x = \sin(2 \cdot 2x) = \sin 4x$.

Теперь исходное уравнение можно записать в виде:

$\sin 4x = \sin^2 4x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$\sin^2 4x - \sin 4x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 4x$ за скобки:

$\sin 4x (\sin 4x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два независимых случая:

а) $\sin 4x = 0$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является $4x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Отсюда находим первую серию корней: $x = \frac{\pi n}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin 4x - 1 = 0 \Rightarrow \sin 4x = 1$

Решением этого уравнения является $4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда находим вторую серию корней: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{2\pi k}{4} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi n}{4}; \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $1 + \cos^2 x = \sin^4 x$.

Для решения приведем уравнение к одной тригонометрической функции. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$1 + (1 - \sin^2 x) = \sin^4 x$

$2 - \sin^2 x = \sin^4 x$

Перенесем все члены в правую часть и получим:

$\sin^4 x + \sin^2 x - 2 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\sin^2 x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \sin^2 x$. Учитывая, что $0 \le \sin^2 x \le 1$, для переменной $t$ должно выполняться условие $0 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Теперь выполним обратную замену:

а) $t_1 = \sin^2 x = 1$. Этот корень удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$.

б) $t_2 = \sin^2 x = -2$. Этот корень не подходит, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, в этом случае решений нет.

Остается решить уравнение $\sin^2 x = 1$.

Это равносильно совокупности двух уравнений: $\sin x = 1$ или $\sin x = -1$.

Эти два случая можно объединить. Если $\sin^2 x = 1$, то $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - 1 = 0$, что означает $\cos x = 0$.

Решением уравнения $\cos x = 0$ является серия корней:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.