Номер 1214, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1214. 1) $5\sin^4 x + 3\cos^6 x = 8;$

2) $\sin^3 x + 2\cos^5 x = \sqrt{10};$

3) $\sin x \sin 5x \sin 17x = 1;$

4) $\cos x \cos 2x \cos 3x = 1.$

1)

Рассмотрим уравнение $5\sin^4 x + 3\cos^6 x = 8$.

Для решения этого уравнения воспользуемся методом оценки. Известно, что для любого действительного числа $x$ выполняются неравенства $0 \le \sin^2 x \le 1$ и $0 \le \cos^2 x \le 1$.

Поскольку $\sin^2 x \le 1$, то, возведя обе части в квадрат, получаем $\sin^4 x \le \sin^2 x$. Аналогично, из $\cos^2 x \le 1$ следует, что $\cos^6 x \le \cos^2 x$.

Используя эти неравенства, мы можем оценить левую часть уравнения:

$5\sin^4 x + 3\cos^6 x \le 5\sin^2 x + 3\cos^2 x$.

Теперь преобразуем полученное выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

$5\sin^2 x + 3\cos^2 x = 5\sin^2 x + 3(1 - \sin^2 x) = 5\sin^2 x + 3 - 3\sin^2 x = 2\sin^2 x + 3$.

Так как максимальное значение $\sin^2 x$ равно 1, то максимальное значение выражения $2\sin^2 x + 3$ равно $2(1) + 3 = 5$.

Таким образом, мы получили оценку для левой части исходного уравнения:

$5\sin^4 x + 3\cos^6 x \le 5$.

В то же время правая часть уравнения равна 8. Поскольку $5 < 8$, левая часть уравнения никогда не может быть равна правой. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2)

Рассмотрим уравнение $\sin^3 x + 2\cos^5 x = \sqrt{10}$.

Для решения этого уравнения также применим метод оценки. Воспользуемся следующими неравенствами, справедливыми для любых действительных $x$:

$\sin^3 x \le |\sin x|$ и $\cos^5 x \le |\cos x|$.

Доказательство неравенства $\sin^3 x \le |\sin x|$:

- Если $\sin x \ge 0$, то $|\sin x| = \sin x$. Так как $0 \le \sin x \le 1$, то $\sin^3 x \le \sin x$. Неравенство верно.

- Если $\sin x < 0$, то $\sin^3 x$ также отрицательно, а $|\sin x|$ положительно. Следовательно, $\sin^3 x < |\sin x|$. Неравенство верно.

Аналогично доказывается, что $\cos^5 x \le |\cos x|$.

Используя эти неравенства, оценим левую часть уравнения:

$\sin^3 x + 2\cos^5 x \le |\sin x| + 2|\cos x|$.

Теперь найдем максимальное значение выражения $|\sin x| + 2|\cos x|$. Пусть $u = |\sin x|$ и $v = |\cos x|$. Тогда $u \ge 0$, $v \ge 0$ и $u^2 + v^2 = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Нам нужно найти максимум функции $f(u, v) = u + 2v$ при условии $u^2 + v^2 = 1$.

Воспользуемся неравенством Коши-Буняковского-Шварца:

$(a_1b_1 + a_2b_2)^2 \le (a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)$.

Положим $a_1=1, a_2=2$ и $b_1=u, b_2=v$:

$(1 \cdot u + 2 \cdot v)^2 \le (1^2 + 2^2)(u^2 + v^2)$.

$(u + 2v)^2 \le (1 + 4)(1) = 5$.

Отсюда $u + 2v \le \sqrt{5}$.

Таким образом, максимальное значение выражения $|\sin x| + 2|\cos x|$ равно $\sqrt{5}$.

Мы получили, что $\sin^3 x + 2\cos^5 x \le \sqrt{5}$.

Сравним правую часть исходного уравнения $\sqrt{10}$ с полученной оценкой $\sqrt{5}$. Так как $10 > 5$, то $\sqrt{10} > \sqrt{5}$.

Левая часть уравнения не превышает $\sqrt{5}$, поэтому она не может быть равна $\sqrt{10}$. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3)

Рассмотрим уравнение $\sin x \sin 5x \sin 17x = 1$.

Значение функции синус находится в пределах от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin \alpha \le 1$.

Произведение трех сомножителей, каждый из которых по модулю не превышает 1, может быть равно 1 только в двух случаях:

1. Все три сомножителя равны 1.

2. Два сомножителя равны -1, а один равен 1.

Рассмотрим эти случаи.

Случай 1: $\sin x = 1$, $\sin 5x = 1$ и $\sin 17x = 1$.

Из первого уравнения $\sin x = 1$ находим $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим это значение во второе уравнение:

$\sin(5x) = \sin\left(5\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{2} + 10\pi k\right) = \sin\left(\frac{4\pi+\pi}{2}\right) = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Условие $\sin 5x = 1$ выполняется.

Подставим значение $x$ в третье уравнение:

$\sin(17x) = \sin\left(17\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)\right) = \sin\left(\frac{17\pi}{2} + 34\pi k\right) = \sin\left(\frac{16\pi+\pi}{2}\right) = \sin\left(8\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$.

Условие $\sin 17x = 1$ также выполняется.

Следовательно, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ является решением уравнения.

Случай 2: Два сомножителя равны -1, один равен 1.

а) $\sin x = 1$, $\sin 5x = -1$, $\sin 17x = -1$. Из $\sin x = 1$ следует $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Но тогда, как мы показали выше, $\sin 5x = 1$, что противоречит условию $\sin 5x = -1$. Этот случай невозможен.

б) $\sin x = -1$, $\sin 5x = 1$, $\sin 17x = -1$. Из $\sin x = -1$ следует $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Тогда $\sin(5x) = \sin\left(5(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)\right) = \sin(-\frac{5\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Это противоречит условию $\sin 5x = 1$. Этот случай невозможен.

в) $\sin x = -1$, $\sin 5x = -1$, $\sin 17x = 1$. Из $\sin x = -1$ следует $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Тогда $\sin(17x) = \sin\left(17(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k)\right) = \sin(-\frac{17\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. Это противоречит условию $\sin 17x = 1$. Этот случай невозможен.

Таким образом, единственно возможным является первый случай.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4)

Рассмотрим уравнение $\cos x \cos 2x \cos 3x = 1$.

Значение функции косинус находится в пределах от -1 до 1. Произведение трех таких чисел равно 1 в следующих случаях:

1. Все три сомножителя равны 1.

2. Два сомножителя равны -1, а один равен 1.

Рассмотрим эти случаи.

Случай 1: $\cos x = 1$, $\cos 2x = 1$ и $\cos 3x = 1$.

Из первого уравнения $\cos x = 1$ находим $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подставим это значение во второе уравнение:

$\cos(2x) = \cos(2(2\pi k)) = \cos(4\pi k) = 1$. Условие выполняется.

Подставим в третье уравнение:

$\cos(3x) = \cos(3(2\pi k)) = \cos(6\pi k) = 1$. Условие выполняется.

Следовательно, $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ является решением.

Случай 2: Два сомножителя равны -1, один равен 1.

а) $\cos x = 1$, $\cos 2x = -1$, $\cos 3x = -1$. Из $\cos x = 1$ следует $x = 2\pi k$. Но тогда $\cos(2x) = \cos(4\pi k) = 1$, что противоречит условию $\cos 2x = -1$. Этот случай невозможен.

б) $\cos x = -1$, $\cos 2x = -1$, $\cos 3x = 1$. Из $\cos x = -1$ следует $x = \pi + 2\pi k$. Тогда $\cos(2x) = \cos(2(\pi + 2\pi k)) = \cos(2\pi + 4\pi k) = 1$, что противоречит условию $\cos 2x = -1$. Этот случай невозможен.

в) $\cos x = -1$, $\cos 2x = 1$, $\cos 3x = -1$. Из $\cos x = -1$ следует $x = \pi + 2\pi k = (2k+1)\pi$.

Подставим это значение во второе уравнение:

$\cos(2x) = \cos(2(\pi + 2\pi k)) = \cos(2\pi + 4\pi k) = 1$. Условие выполняется.

Подставим в третье уравнение:

$\cos(3x) = \cos(3(\pi + 2\pi k)) = \cos(3\pi + 6\pi k) = \cos(\pi) = -1$. Условие выполняется.

Следовательно, $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ также является решением.

Объединим полученные серии решений:

$x = 2\pi k$ (четные кратные $\pi$)

$x = \pi + 2\pi k = (2k+1)\pi$ (нечетные кратные $\pi$)

Вместе эти две серии дают все целые кратные $\pi$.

Таким образом, общее решение можно записать в виде $x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.