Номер 1207, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1207. 1) $2\sin2x - 3(\sin x + \cos x) + 2 = 0;$

2) $\sin2x + 3 = 3\sin x + 3\cos x;$

3) $\sin2x + 4(\sin x + \cos x) + 4 = 0;$

4) $\sin2x + 5(\cos x + \sin x + 1) = 0.$

1) $2\sin2x - 3(\sin x + \cos x) + 2 = 0$

Данные уравнения решаются методом замены переменной. Введем замену: $t = \sin x + \cos x$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат:

$t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin 2x$, получаем:

$t^2 = 1 + \sin 2x$, откуда $\sin 2x = t^2 - 1$.

Также найдем область допустимых значений для $t$:

$t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$.

Поскольку $-1 \le \sin(x + \frac{\pi}{4}) \le 1$, то $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$2(t^2 - 1) - 3t + 2 = 0$

$2t^2 - 2 - 3t + 2 = 0$

$2t^2 - 3t = 0$

$t(2t - 3) = 0$

Отсюда получаем два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = \frac{3}{2}$.

Проверим корни на принадлежность области допустимых значений $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то:

$t_1 = 0$ — удовлетворяет условию.

$t_2 = 1.5$ — не удовлетворяет условию, так как $1.5 > \sqrt{2}$.

Выполним обратную замену для $t_1 = 0$:

$\sin x + \cos x = 0$

Разделим обе части на $\cos x \neq 0$ (если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, и сумма не равна нулю):

$\tan x + 1 = 0$

$\tan x = -1$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin2x + 3 = 3\sin x + 3\cos x$

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin2x - 3(\sin x + \cos x) + 3 = 0$

Используем ту же замену: $t = \sin x + \cos x$, $\sin 2x = t^2 - 1$, где $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$.

Подставим в уравнение:

$(t^2 - 1) - 3t + 3 = 0$

$t^2 - 3t + 2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Проверяем корни: $t_1 = 1$ принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$, а $t_2 = 2$ не принадлежит, так как $2 > \sqrt{2}$.

Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:

$\sin x + \cos x = 1$

Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла:

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Отсюда получаем две серии решений:

1. $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\pi n, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin2x + 4(\sin x + \cos x) + 4 = 0$

Используем замену $t = \sin x + \cos x$, $\sin 2x = t^2 - 1$ ($-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$).

$(t^2 - 1) + 4t + 4 = 0$

$t^2 + 4t + 3 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = -1$, $t_2 = -3$.

Проверяем корни: $t_1 = -1$ принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$, а $t_2 = -3$ не принадлежит, так как $-3 < -\sqrt{2}$.

Выполним обратную замену для $t_1 = -1$:

$\sin x + \cos x = -1$

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Отсюда получаем две серии решений:

1. $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $x + \frac{\pi}{4} = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi n \implies x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin2x + 5(\cos x + \sin x + 1) = 0$

Раскроем скобки и перегруппируем:

$\sin2x + 5(\sin x + \cos x) + 5 = 0$

Используем замену $t = \sin x + \cos x$, $\sin 2x = t^2 - 1$ ($-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$).

$(t^2 - 1) + 5t + 5 = 0$

$t^2 + 5t + 4 = 0$

По теореме Виета находим корни: $t_1 = -1$, $t_2 = -4$.

Проверяем корни: $t_1 = -1$ принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$, а $t_2 = -4$ не принадлежит, так как $-4 < -\sqrt{2}$.

Выполним обратную замену для $t_1 = -1$:

$\sin x + \cos x = -1$

Решение этого уравнения было найдено в пункте 3:

$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -1$

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

1. $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.