Номер 1210, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1210. 1) $ \cos2x + 4\sin^4 x = 8\cos^6 x; $

2) $ \cos^4 x + \sin^8 x = 1; $

3) $ 2\sin^2 x + \frac{1}{4}\cos^3 2x = 1; $

4) $ \sin^2 2x + \cos^2 3x = 1 + 4\sin x. $

1) $cos2x + 4sin⁴x = 8cos⁶x$

Используем формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество, чтобы выразить все через $cos(x)$:

$cos(2x) = 2cos²x - 1$

$sin⁴x = (sin²x)² = (1 - cos²x)² = 1 - 2cos²x + cos⁴x$

Подставляем в исходное уравнение:

$(2cos²x - 1) + 4(1 - 2cos²x + cos⁴x) = 8cos⁶x$

$2cos²x - 1 + 4 - 8cos²x + 4cos⁴x = 8cos⁶x$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные:

$8cos⁶x - 4cos⁴x + 6cos²x - 3 = 0$

Сделаем замену $y = cos²x$. Так как $0 ≤ cos²x ≤ 1$, то $0 ≤ y ≤ 1$.

$8y³ - 4y² + 6y - 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$4y²(2y - 1) + 3(2y - 1) = 0$

$(4y² + 3)(2y - 1) = 0$

Получаем два случая:

1) $4y² + 3 = 0 \Rightarrow 4y² = -3$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $y²$ не может быть отрицательным.

2) $2y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1/2$.

Возвращаемся к замене:

$cos²x = 1/2$

Это равносильно уравнению $ \frac{1+cos(2x)}{2} = \frac{1}{2} $, откуда $cos(2x) = 0$.

$2x = \frac{π}{2} + πk, k \in ℤ$

$x = \frac{π}{4} + \frac{πk}{2}, k \in ℤ$

Ответ: $x = \frac{π}{4} + \frac{πk}{2}, k \in ℤ$.

2) $cos⁴x + sin⁸x = 1$

Поскольку $cos²x \in [0, 1]$ и $sin²x \in [0, 1]$, справедливы неравенства:

$cos⁴x ≤ cos²x$

$sin⁸x ≤ sin²x$

Сложив эти неравенства, получим:

$cos⁴x + sin⁸x ≤ cos²x + sin²x$

$cos⁴x + sin⁸x ≤ 1$

Согласно условию задачи, левая часть равна 1. Равенство достигается только в том случае, когда оба неравенства выше обращаются в равенства:

$\begin{cases} cos⁴x = cos²x \\ sin⁸x = sin²x \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$cos⁴x - cos²x = 0 \Rightarrow cos²x(cos²x - 1) = 0 \Rightarrow -cos²x \cdot sin²x = 0$

Отсюда следует, что либо $cos²x = 0$, либо $sin²x = 0$.

Решим второе уравнение системы:

$sin⁸x - sin²x = 0 \Rightarrow sin²x(sin⁶x - 1) = 0$

Отсюда следует, что либо $sin²x = 0$, либо $sin⁶x = 1$ (что равносильно $sin²x = 1$).

Теперь объединим условия для всей системы:

$(cos²x = 0 \text{ или } sin²x = 0) \text{ и } (sin²x = 0 \text{ или } sin²x = 1)$

Рассмотрим два случая, которые удовлетворяют этим условиям:

Случай 1: $sin²x = 0$. Тогда $cos²x = 1 - sin²x = 1$. Это удовлетворяет обоим условиям.
$sin x = 0 \Rightarrow x = πk, k \in ℤ$.

Случай 2: $cos²x = 0$. Тогда $sin²x = 1 - cos²x = 1$. Это также удовлетворяет обоим условиям.
$cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + πk, k \in ℤ$.

Объединяя оба набора решений, получаем все точки, кратные $\frac{π}{2}$.

Ответ: $x = \frac{πk}{2}, k \in ℤ$.

3) $2sin²x + \frac{1}{4}cos³(2x) = 1$

Используем формулу понижения степени $sin²x = \frac{1 - cos(2x)}{2}$.

$2 \cdot \frac{1 - cos(2x)}{2} + \frac{1}{4}cos³(2x) = 1$

$1 - cos(2x) + \frac{1}{4}cos³(2x) = 1$

$\frac{1}{4}cos³(2x) - cos(2x) = 0$

Вынесем $cos(2x)$ за скобки:

$cos(2x) \left(\frac{1}{4}cos²(2x) - 1\right) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $cos(2x) = 0$

$2x = \frac{π}{2} + πk, k \in ℤ$

$x = \frac{π}{4} + \frac{πk}{2}, k \in ℤ$

2) $\frac{1}{4}cos²(2x) - 1 = 0 \Rightarrow cos²(2x) = 4 \Rightarrow cos(2x) = ±2$.

Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$.

Таким образом, решением исходного уравнения является только первая серия корней.

Ответ: $x = \frac{π}{4} + \frac{πk}{2}, k \in ℤ$.

4) $sin²(2x) + cos²(3x) = 1 + 4sin(x)$

Перенесем 1 в левую часть:

$sin²(2x) + cos²(3x) - 1 = 4sin(x)$

Используем основное тригонометрическое тождество $cos²(3x) - 1 = -sin²(3x)$:

$sin²(2x) - sin²(3x) = 4sin(x)$

Применим формулу разности квадратов синусов $sin²A - sin²B = sin(A - B)sin(A + B)$:

$sin(2x - 3x)sin(2x + 3x) = 4sin(x)$

$sin(-x)sin(5x) = 4sin(x)$

Так как $sin(-x) = -sin(x)$, получаем:

$-sin(x)sin(5x) = 4sin(x)$

Перенесем все в одну сторону и вынесем $sin(x)$ за скобки:

$sin(x)sin(5x) + 4sin(x) = 0$

$sin(x)(sin(5x) + 4) = 0$

Получаем два случая:

1) $sin(x) = 0 \Rightarrow x = πk, k \in ℤ$.

2) $sin(5x) + 4 = 0 \Rightarrow sin(5x) = -4$. Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1, 1]$.

Следовательно, решением является только первая серия корней.

Ответ: $x = πk, k \in ℤ$.