Номер 1216, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1216. Доказать, что уравнение $sin5x sin7x = 1$ не имеет корней.

Для доказательства утверждения преобразуем левую часть уравнения, используя тригонометрическую формулу произведения синусов:
$ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $

Применим эту формулу к нашему уравнению $ \sin(5x) \sin(7x) = 1 $:
$ \frac{1}{2}(\cos(7x - 5x) - \cos(7x + 5x)) = 1 $
$ \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(12x)) = 1 $
Умножим обе части уравнения на 2:
$ \cos(2x) - \cos(12x) = 2 $

Теперь проанализируем полученное уравнение. Мы знаем, что область значений функции косинус находится в промежутке от -1 до 1, то есть:
$ -1 \le \cos(2x) \le 1 $
$ -1 \le \cos(12x) \le 1 $

Разность $ \cos(2x) - \cos(12x) $ может быть равна 2 только в одном единственном случае: когда $ \cos(2x) $ принимает свое максимальное значение, а $ \cos(12x) $ — свое минимальное.
Это означает, что для существования решения должна выполняться система уравнений:
$ \begin{cases} \cos(2x) = 1 \\ \cos(12x) = -1 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:
$ \cos(2x) = 1 $
$ 2x = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $ (целые числа)
$ x = \pi n $

Теперь подставим найденное значение $ x $ во второе уравнение системы, чтобы проверить, выполняется ли оно при тех же значениях $ x $:
$ \cos(12(\pi n)) = \cos(12\pi n) $
Поскольку $ 12n $ всегда является четным целым числом при любом целом $ n $, то $ 12\pi n $ — это четное число, кратное $ \pi $. Косинус от любого четного кратного $ \pi $ (например, $ \cos(0), \cos(2\pi), \cos(4\pi), \dots $) всегда равен 1.
Таким образом, $ \cos(12\pi n) = 1 $.

Однако, согласно второму уравнению системы, должно выполняться равенство $ \cos(12x) = -1 $. Мы получили противоречие: $ 1 = -1 $.
Это означает, что не существует такого значения $ x $, при котором оба уравнения системы выполнялись бы одновременно. Следовательно, система не имеет решений, а значит, и исходное уравнение $ \sin(5x) \sin(7x) = 1 $ не имеет корней.

Ответ: Доказано, что уравнение не имеет корней.