Номер 1219, страница 348 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1219. 1) $$\begin{cases} \sin x - \sin y = 1 \\ \sin^2 x + \cos^2 y = 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \cos x + \cos y = \frac{1}{2} \\ \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{7}{4} \end{cases}$$

$$\begin{cases} \cos(x - y) = 2\cos(x + y) \\ \cos x \cos y = \frac{3}{4} \end{cases}$$

$$\begin{cases} \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} = \frac{1}{2} \\ \cos x \cos y = \frac{1}{4} \end{cases}$$

1)

Дана система уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \sin x - \sin y = 1, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = 1. \end{array} \right.$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$, из которого следует, что $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$\sin^2 x + (1 - \sin^2 y) = 1$

$\sin^2 x - \sin^2 y = 0$

Разложим левую часть как разность квадратов:

$(\sin x - \sin y)(\sin x + \sin y) = 0$

Из первого уравнения системы мы знаем, что $\sin x - \sin y = 1$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$1 \cdot (\sin x + \sin y) = 0$

$\sin x + \sin y = 0$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \sin x - \sin y = 1, \\ \sin x + \sin y = 0. \end{array} \right.$

Сложим эти два уравнения:

$(\sin x - \sin y) + (\sin x + \sin y) = 1 + 0$

$2\sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2}$

Подставим значение $\sin x$ во второе уравнение новой системы:

$\frac{1}{2} + \sin y = 0 \implies \sin y = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем общие решения для $x$ и $y$.

Из $\sin x = \frac{1}{2}$ следует:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из $\sin y = -\frac{1}{2}$ следует:

$y = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \ y = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дана система уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos x + \cos y = \frac{1}{2}, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{7}{4}. \end{array} \right.$

Преобразуем второе уравнение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$(1 - \cos^2 x) + (1 - \cos^2 y) = \frac{7}{4}$

$2 - (\cos^2 x + \cos^2 y) = \frac{7}{4}$

$\cos^2 x + \cos^2 y = 2 - \frac{7}{4} = \frac{8}{4} - \frac{7}{4} = \frac{1}{4}$

Теперь система выглядит так:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos x + \cos y = \frac{1}{2}, \\ \cos^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{4}. \end{array} \right.$

Пусть $a = \cos x$ и $b = \cos y$. Система примет вид:

$\left\{ \begin{array}{l} a + b = \frac{1}{2}, \\ a^2 + b^2 = \frac{1}{4}. \end{array} \right.$

Из первого уравнения выразим $b = \frac{1}{2} - a$ и подставим во второе:

$a^2 + \left(\frac{1}{2} - a\right)^2 = \frac{1}{4}$

$a^2 + \frac{1}{4} - a + a^2 = \frac{1}{4}$

$2a^2 - a = 0$

$a(2a - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a=0$ или $a=\frac{1}{2}$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a = \cos x = 0$. Тогда $b = \cos y = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

Решения для $x$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решения для $y$: $y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $a = \cos x = \frac{1}{2}$. Тогда $b = \cos y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

Решения для $x$: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решения для $y$: $y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем ответ.

Ответ: $( \frac{\pi}{2} + \pi k, \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n )$ и $( \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi n )$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3)

Дана система уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos(x - y) = 2\cos(x + y), \\ \cos x \cos y = \frac{3}{4}. \end{array} \right.$

Используем формулы косинуса суммы и разности в первом уравнении:

$\cos x \cos y + \sin x \sin y = 2(\cos x \cos y - \sin x \sin y)$

$\cos x \cos y + \sin x \sin y = 2\cos x \cos y - 2\sin x \sin y$

$3\sin x \sin y = \cos x \cos y$

Из второго уравнения системы известно, что $\cos x \cos y = \frac{3}{4}$. Подставим это значение:

$3\sin x \sin y = \frac{3}{4} \implies \sin x \sin y = \frac{1}{4}$

Теперь мы можем найти значения $\cos(x+y)$ и $\cos(x-y)$:

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Получили систему:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos(x - y) = 1, \\ \cos(x + y) = \frac{1}{2}. \end{array} \right.$

Из первого уравнения следует:

$x - y = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения следует:

$x + y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$\left\{ \begin{array}{l} x - y = 2\pi k, \\ x + y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n. \end{array} \right.$

Сложив уравнения, получим: $2x = 2\pi k \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pi(k+n) \pm\frac{\pi}{6}$.

Вычтя первое уравнение из второго, получим: $2y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n - 2\pi k \implies y = \pm\frac{\pi}{6} + \pi(n-k)$.

Знак (плюс или минус) в выражениях для $x$ и $y$ должен быть одинаковым для каждой пары решений.

Ответ: $x = \pi(k+n) \pm \frac{\pi}{6}, \ y = \pi(n-k) \pm \frac{\pi}{6}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$ (знаки выбираются одновременно).

4)

Дана система уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} = \frac{1}{2}, \\ \cos x \cos y = \frac{1}{4}. \end{array} \right.$

Преобразуем левую часть первого уравнения с помощью формулы произведения косинусов: $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B))$.

Пусть $A = \frac{x+y}{2}$ и $B = \frac{x-y}{2}$. Тогда:

$A+B = \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{2} = \frac{2x}{2} = x$

$A-B = \frac{x+y}{2} - \frac{x-y}{2} = \frac{2y}{2} = y$

Таким образом, первое уравнение принимает вид:

$\frac{1}{2}(\cos x + \cos y) = \frac{1}{2}$

$\cos x + \cos y = 1$

Теперь решаем систему:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos x + \cos y = 1, \\ \cos x \cos y = \frac{1}{4}. \end{array} \right.$

Пусть $a = \cos x$ и $b = \cos y$. По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.

$t^2 - 1 \cdot t + \frac{1}{4} = 0$

$t^2 - t + \frac{1}{4} = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t - \frac{1}{2})^2 = 0$

Уравнение имеет один корень $t = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\cos x = \frac{1}{2}$ и $\cos y = \frac{1}{2}$.

Находим общие решения для $x$ и $y$:

Из $\cos x = \frac{1}{2}$ следует: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из $\cos y = \frac{1}{2}$ следует: $y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \ y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.