Номер 1224, страница 351 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1224. 1) $ \sin x \ge -\sqrt{2} $;

2) $ \sin x > 1 $;

3) $ \sin x \le -1 $;

4) $ \sin x \ge 1 $.

1) Решим неравенство $sin(x) \ge -\sqrt{2}$.

Область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le sin(x) \le 1$ для любого действительного значения $x$.Сравним значение $-\sqrt{2}$ с $-1$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $-\sqrt{2} \approx -1.414$, что меньше $-1$.Поскольку наименьшее значение $sin(x)$ равно $-1$, то для любого $x$ будет выполняться $sin(x) \ge -1 > -\sqrt{2}$.Следовательно, неравенство $sin(x) \ge -\sqrt{2}$ справедливо для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

2) Решим неравенство $sin(x) > 1$.

Область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$. Максимальное значение, которое может принимать $sin(x)$, равно 1.Неравенство $sin(x) > 1$ требует, чтобы значение функции было строго больше 1, что невозможно ни при каком значении $x$.Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

3) Решим неравенство $sin(x) \le -1$.

Область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что $sin(x)$ не может быть строго меньше $-1$.Таким образом, неравенство $sin(x) \le -1$ может выполняться только в том случае, когда $sin(x) = -1$.Решим это уравнение. Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Равенство достигается в точках, соответствующих нижней точке единичной окружности.Это происходит при $x = -\frac{\pi}{2}$ и повторяется с периодом $2\pi$.Общее решение имеет вид: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим неравенство $sin(x) \ge 1$.

Область значений функции синус — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что $sin(x)$ не может быть строго больше $1$.Таким образом, неравенство $sin(x) \ge 1$ может выполняться только в том случае, когда $sin(x) = 1$.Решим это уравнение. Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Равенство достигается в точках, соответствующих верхней точке единичной окружности.Это происходит при $x = \frac{\pi}{2}$ и повторяется с периодом $2\pi$.Общее решение имеет вид: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.