Номер 1229, страница 352 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1229. Вычислить:

1) $2\arcsin{\frac{\sqrt{3}}{2}} + 3\arcsin{\left(-\frac{1}{2}\right)};$

2) $\arcsin{\frac{1}{\sqrt{2}}} - 4\arcsin{1};$

3) $\arccos{\left(-\frac{1}{2}\right)} - \arcsin{\frac{\sqrt{3}}{2}};$

4) $\arccos(-1) - \arcsin(-1).$

1) $2\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} + 3\arcsin(-\frac{1}{2})$

Для решения необходимо найти значения арксинусов, используя их определения. Арксинус числа $a$ ($\arcsin a$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.

Найдем значение $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$. Синус угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, и этот угол принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Найдем значение $\arcsin(-\frac{1}{2})$. Используем свойство нечетности арксинуса: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin\frac{1}{2}$. Синус угла $\frac{\pi}{6}$ равен $\frac{1}{2}$, значит $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$. Тогда $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$. Угол $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:$2 \cdot \frac{\pi}{3} + 3 \cdot (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{3} - \frac{3\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi - 3\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

2) $\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} - 4\arcsin1$

Найдем значения арксинусов.

Значение $\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}$ равно $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}$. Синус угла $\frac{\pi}{4}$ равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, и $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Значит, $\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$.

Найдем значение $\arcsin1$. Синус угла $\frac{\pi}{2}$ равен $1$, и $\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Значит, $\arcsin1 = \frac{\pi}{2}$.

Подставим найденные значения в выражение:$\frac{\pi}{4} - 4 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi - 8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{7\pi}{4}$

3) $\arccos(-\frac{1}{2}) - \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$

Для решения необходимо найти значения арккосинуса и арксинуса. Арккосинус числа $a$ ($\arccos a$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.

Найдем значение $\arccos(-\frac{1}{2})$. Используем формулу $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.$\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \arccos\frac{1}{2}$. Косинус угла $\frac{\pi}{3}$ равен $\frac{1}{2}$, значит $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.Тогда $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$. Угол $\frac{2\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$.

Значение $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$ мы нашли в первом пункте: $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$.

Выполним вычитание:$\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

4) $\arccos(-1) - \arcsin(-1)$

Найдем значения арккосинуса и арксинуса.

Найдем значение $\arccos(-1)$. Косинус угла $\pi$ равен $-1$, и $\pi \in [0; \pi]$. Значит, $\arccos(-1) = \pi$.

Найдем значение $\arcsin(-1)$. Синус угла $-\frac{\pi}{2}$ равен $-1$, и $-\frac{\pi}{2} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Значит, $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Подставим найденные значения в выражение:$\pi - (-\frac{\pi}{2}) = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{2\pi + \pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$