Страница 348 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить систему уравнений (1218–1220).

1218. 1) $ \begin{cases} \cos(x + y) = 0, \\ \cos(x - y) = 1; \end{cases} $ 2) $ \begin{cases} \sin x \cos y = -\frac{1}{2}, \\ \cos x \sin y = \frac{1}{2}; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \sin x \cos y = \frac{1}{2}, \\ \cos x \sin y = \frac{1}{2}; \end{cases} $ 4) $ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4}, \\ \cos x \cos y = \frac{\sqrt{3}}{4}. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \cos(x + y) = 0 \\ \cos(x - y) = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем:

$x + y = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения получаем:

$x - y = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь у нас есть система линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ x - y = 2\pi n \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(x + y) + (x - y) = (\frac{\pi}{2} + \pi k) + 2\pi n$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k + 2\pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} + \pi n$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x + y) - (x - y) = (\frac{\pi}{2} + \pi k) - 2\pi n$

$2y = \frac{\pi}{2} + \pi k - 2\pi n$

$y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} - \pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} + \pi n, y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} - \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x \cos y = -\frac{1}{2} \\ \cos x \sin y = \frac{1}{2} \end{cases} $

Используем формулы синуса суммы и разности: $\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$.

Сложим два уравнения системы:

$\sin x \cos y + \cos x \sin y = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$\sin(x + y) = 0$

Вычтем второе уравнение из первого:

$\sin x \cos y - \cos x \sin y = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

$\sin(x - y) = -1$

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} x + y = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \\ x - y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Сложим уравнения новой системы, чтобы найти $x$:

$2x = \pi k - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$

$x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} + \pi n$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:

$2y = \pi k - (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = \pi k + \frac{\pi}{2} - 2\pi n$

$y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} - \pi n$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} + \pi n, y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} - \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x \cos y = \frac{1}{2} \\ \cos x \sin y = \frac{1}{2} \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$\sin x \cos y + \cos x \sin y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$\sin(x + y) = 1$

Вычтем второе уравнение из первого:

$\sin x \cos y - \cos x \sin y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

$\sin(x - y) = 0$

Получаем новую систему:

$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \\ x - y = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Сложим уравнения новой системы:

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k + \pi n$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{\pi n}{2}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$2y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k - \pi n$

$y = \frac{\pi}{4} + \pi k - \frac{\pi n}{2}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{\pi n}{2}, y = \frac{\pi}{4} + \pi k - \frac{\pi n}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4} \\ \cos x \cos y = \frac{\sqrt{3}}{4} \end{cases} $

Используем формулы косинуса суммы и разности: $\cos(a \mp b) = \cos a \cos b \pm \sin a \sin b$.

Сложим два уравнения системы:

$\cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}$

$\cos(x - y) = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$\cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

$\cos(x + y) = 0$

Из полученных уравнений имеем:

$x + y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x - y = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x - y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Решаем систему:

$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + \pi n \\ x - y = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + \pi n + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} + \pi k$.

Вычитая второе из первого, получаем: $2y = \frac{\pi}{2} + \pi n - \frac{\pi}{6} - 2\pi k = \frac{\pi}{3} + \pi n - 2\pi k \implies y = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} - \pi k$.

Случай 2: $x - y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Решаем систему:

$ \begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + \pi n \\ x - y = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{cases} $

Складывая уравнения, получаем: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + \pi n + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} + \pi k$.

Вычитая второе из первого, получаем: $2y = \frac{\pi}{2} + \pi n + \frac{\pi}{6} - 2\pi k = \frac{2\pi}{3} + \pi n - 2\pi k \implies y = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} - \pi k$.

Ответ: $( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} + \pi k; \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} - \pi k )$ и $( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} + \pi k; \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} - \pi k )$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

1219. 1) $$\begin{cases} \sin x - \sin y = 1 \\ \sin^2 x + \cos^2 y = 1 \end{cases}$$

$$\begin{cases} \cos x + \cos y = \frac{1}{2} \\ \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{7}{4} \end{cases}$$

$$\begin{cases} \cos(x - y) = 2\cos(x + y) \\ \cos x \cos y = \frac{3}{4} \end{cases}$$

$$\begin{cases} \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} = \frac{1}{2} \\ \cos x \cos y = \frac{1}{4} \end{cases}$$

1)

Дана система уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \sin x - \sin y = 1, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = 1. \end{array} \right.$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$, из которого следует, что $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$\sin^2 x + (1 - \sin^2 y) = 1$

$\sin^2 x - \sin^2 y = 0$

Разложим левую часть как разность квадратов:

$(\sin x - \sin y)(\sin x + \sin y) = 0$

Из первого уравнения системы мы знаем, что $\sin x - \sin y = 1$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$1 \cdot (\sin x + \sin y) = 0$

$\sin x + \sin y = 0$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \sin x - \sin y = 1, \\ \sin x + \sin y = 0. \end{array} \right.$

Сложим эти два уравнения:

$(\sin x - \sin y) + (\sin x + \sin y) = 1 + 0$

$2\sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2}$

Подставим значение $\sin x$ во второе уравнение новой системы:

$\frac{1}{2} + \sin y = 0 \implies \sin y = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем общие решения для $x$ и $y$.

Из $\sin x = \frac{1}{2}$ следует:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из $\sin y = -\frac{1}{2}$ следует:

$y = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \ y = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дана система уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos x + \cos y = \frac{1}{2}, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{7}{4}. \end{array} \right.$

Преобразуем второе уравнение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$(1 - \cos^2 x) + (1 - \cos^2 y) = \frac{7}{4}$

$2 - (\cos^2 x + \cos^2 y) = \frac{7}{4}$

$\cos^2 x + \cos^2 y = 2 - \frac{7}{4} = \frac{8}{4} - \frac{7}{4} = \frac{1}{4}$

Теперь система выглядит так:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos x + \cos y = \frac{1}{2}, \\ \cos^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{4}. \end{array} \right.$

Пусть $a = \cos x$ и $b = \cos y$. Система примет вид:

$\left\{ \begin{array}{l} a + b = \frac{1}{2}, \\ a^2 + b^2 = \frac{1}{4}. \end{array} \right.$

Из первого уравнения выразим $b = \frac{1}{2} - a$ и подставим во второе:

$a^2 + \left(\frac{1}{2} - a\right)^2 = \frac{1}{4}$

$a^2 + \frac{1}{4} - a + a^2 = \frac{1}{4}$

$2a^2 - a = 0$

$a(2a - 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a=0$ или $a=\frac{1}{2}$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a = \cos x = 0$. Тогда $b = \cos y = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

Решения для $x$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решения для $y$: $y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $a = \cos x = \frac{1}{2}$. Тогда $b = \cos y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

Решения для $x$: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решения для $y$: $y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем ответ.

Ответ: $( \frac{\pi}{2} + \pi k, \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n )$ и $( \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi n )$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

3)

Дана система уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos(x - y) = 2\cos(x + y), \\ \cos x \cos y = \frac{3}{4}. \end{array} \right.$

Используем формулы косинуса суммы и разности в первом уравнении:

$\cos x \cos y + \sin x \sin y = 2(\cos x \cos y - \sin x \sin y)$

$\cos x \cos y + \sin x \sin y = 2\cos x \cos y - 2\sin x \sin y$

$3\sin x \sin y = \cos x \cos y$

Из второго уравнения системы известно, что $\cos x \cos y = \frac{3}{4}$. Подставим это значение:

$3\sin x \sin y = \frac{3}{4} \implies \sin x \sin y = \frac{1}{4}$

Теперь мы можем найти значения $\cos(x+y)$ и $\cos(x-y)$:

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Получили систему:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos(x - y) = 1, \\ \cos(x + y) = \frac{1}{2}. \end{array} \right.$

Из первого уравнения следует:

$x - y = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения следует:

$x + y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$\left\{ \begin{array}{l} x - y = 2\pi k, \\ x + y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n. \end{array} \right.$

Сложив уравнения, получим: $2x = 2\pi k \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pi(k+n) \pm\frac{\pi}{6}$.

Вычтя первое уравнение из второго, получим: $2y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n - 2\pi k \implies y = \pm\frac{\pi}{6} + \pi(n-k)$.

Знак (плюс или минус) в выражениях для $x$ и $y$ должен быть одинаковым для каждой пары решений.

Ответ: $x = \pi(k+n) \pm \frac{\pi}{6}, \ y = \pi(n-k) \pm \frac{\pi}{6}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$ (знаки выбираются одновременно).

4)

Дана система уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} = \frac{1}{2}, \\ \cos x \cos y = \frac{1}{4}. \end{array} \right.$

Преобразуем левую часть первого уравнения с помощью формулы произведения косинусов: $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B))$.

Пусть $A = \frac{x+y}{2}$ и $B = \frac{x-y}{2}$. Тогда:

$A+B = \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{2} = \frac{2x}{2} = x$

$A-B = \frac{x+y}{2} - \frac{x-y}{2} = \frac{2y}{2} = y$

Таким образом, первое уравнение принимает вид:

$\frac{1}{2}(\cos x + \cos y) = \frac{1}{2}$

$\cos x + \cos y = 1$

Теперь решаем систему:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos x + \cos y = 1, \\ \cos x \cos y = \frac{1}{4}. \end{array} \right.$

Пусть $a = \cos x$ и $b = \cos y$. По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.

$t^2 - 1 \cdot t + \frac{1}{4} = 0$

$t^2 - t + \frac{1}{4} = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(t - \frac{1}{2})^2 = 0$

Уравнение имеет один корень $t = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\cos x = \frac{1}{2}$ и $\cos y = \frac{1}{2}$.

Находим общие решения для $x$ и $y$:

Из $\cos x = \frac{1}{2}$ следует: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из $\cos y = \frac{1}{2}$ следует: $y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \ y = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

1220. 1) $\begin{cases} \tan x + \tan y = 1, \\ \cos x \cos y = \frac{1}{\sqrt{2}}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \tan x \tan y = 1, \\ \sin x \cos y + \cot x \tan y = \frac{1}{2}. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \tg x + \tg y = 1, \\ \cos x \cos y = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x \neq 0$ и $\cos y \neq 0$, что выполняется согласно второму уравнению.

Преобразуем первое уравнение, используя определение тангенса:

$\tg x + \tg y = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x \cos y + \cos x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{\sin(x+y)}{\cos x \cos y}$

Подставим в это выражение значения из исходной системы:

$\frac{\sin(x+y)}{1/\sqrt{2}} = 1 \implies \sin(x+y) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Теперь преобразуем второе уравнение, используя формулу произведения косинусов:

$\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y))$

$\frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y)) = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \cos(x+y) + \cos(x-y) = \sqrt{2}$

Из уравнения $\sin(x+y) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ найдем $\cos(x+y)$.

$\cos^2(x+y) = 1 - \sin^2(x+y) = 1 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Отсюда $\cos(x+y) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ или $\cos(x+y) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\cos(x+y) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Подставим это значение в уравнение $\cos(x+y) + \cos(x-y) = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \cos(x-y) = \sqrt{2} \implies \cos(x-y) = \sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Случай 2: $\cos(x+y) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Подставим это значение:

$-\frac{1}{\sqrt{2}} + \cos(x-y) = \sqrt{2} \implies \cos(x-y) = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$

Так как $\frac{3}{\sqrt{2}} > 1$, в этом случае решений нет.

Таким образом, мы должны решить систему:

$ \begin{cases} \cos(x+y) = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos(x-y) = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} $

При этом должно выполняться условие $\sin(x+y) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Из $\cos(x+y) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ следует $x+y = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z$. Условию $\sin(x+y) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ удовлетворяет только $x+y = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.

Из $\cos(x-y) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ следует $x-y = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$.

Получаем две системы для нахождения $x$ и $y$:

А) $\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \\ x-y = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi(n+k) \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi(n+k)$.

Вычитая второе из первого, получаем $2y = 2\pi(n-k) \implies y = \pi(n-k)$.

Б) $\begin{cases} x+y = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \\ x-y = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x = 2\pi(n+k) \implies x = \pi(n+k)$.

Вычитая второе из первого, получаем $2y = \frac{\pi}{2} + 2\pi(n-k) \implies y = \frac{\pi}{4} + \pi(n-k)$.

Заметим, что числа $p = n+k$ и $q = n-k$ всегда имеют одинаковую четность, так как их разность $p-q = 2k$ является четным числом. В силу симметрии исходной системы, решения можно записать в виде двух серий:

1. $x = \frac{\pi}{4} + p\pi, y = q\pi$, где $p,q \in Z$ и имеют одинаковую четность.

2. $x = p\pi, y = \frac{\pi}{4} + q\pi$, где $p,q \in Z$ и имеют одинаковую четность.

Ответ: $(\frac{\pi}{4} + p\pi, q\pi)$, $(p\pi, \frac{\pi}{4} + q\pi)$, где $p, q$ - целые числа одинаковой четности.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \tg x \tg y = 1, \\ \sin x \cos y + \ctg x \tg y = \frac{1}{2} \end{cases} $

ОДЗ: $\cos x \neq 0, \cos y \neq 0, \sin x \neq 0$. Из первого уравнения $\tg y = 1/\tg x = \ctg x$, значит $\sin y \neq 0$.

Из первого уравнения $\tg x \tg y = 1 \implies \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = 1 \implies \sin x \sin y = \cos x \cos y$.

Это равенство эквивалентно $\cos x \cos y - \sin x \sin y = 0$, то есть $\cos(x+y) = 0$.

Отсюда $x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

Преобразуем второе уравнение, используя то, что $\tg y = \ctg x$:

$\sin x \cos y + \ctg x (\ctg x) = \frac{1}{2} \implies \sin x \cos y + \ctg^2 x = \frac{1}{2}$

Из $x+y = \frac{\pi}{2} + \pi n$ выразим $y = \frac{\pi}{2} - x + \pi n$. Тогда:

$\cos y = \cos(\frac{\pi}{2} - x + \pi n)$.

Если $n$ четное ($n=2k$), $\cos y = \cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin x$.

Если $n$ нечетное ($n=2k+1$), $\cos y = \cos(\frac{3\pi}{2}-x) = -\sin x$.

В общем виде, $\cos y = (-1)^n \sin x$.

Подставим это во второе уравнение: $\sin x ((-1)^n \sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{2}$.

$(-1)^n \sin^2 x + \frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{2}$.

Сделаем замену $u = \sin^2 x$. Так как $\sin x \neq 0$, то $u \in (0, 1]$.

$(-1)^n u + \frac{1-u}{u} = \frac{1}{2}$.

Случай 1: $n$ - четное число.

$u + \frac{1-u}{u} = \frac{1}{2} \implies u^2 + 1 - u = \frac{u}{2} \implies 2u^2 - 3u + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(2)(2) = 9-16 = -7 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $n$ - нечетное число.

$-u + \frac{1-u}{u} = \frac{1}{2} \implies -u^2 + 1 - u = \frac{u}{2} \implies -2u^2 - 3u + 2 = 0 \implies 2u^2 + 3u - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4(2)(-2) = 9+16 = 25$.

$u = \frac{-3 \pm 5}{4}$. Корни $u_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $u_2 = \frac{-8}{4} = -2$.

Так как $u = \sin^2 x$, подходит только $u=\frac{1}{2}$.

Итак, $\sin^2 x = \frac{1}{2}$, а $n$ - нечетное, то есть $x+y = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$ для некоторого $k \in Z$.

Из $\sin^2 x = \frac{1}{2}$ следует, что $\tg^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1/2}{1-1/2} = 1$, так что $\tg x = \pm 1$.

Поскольку $\tg y = \ctg x = 1/\tg x$, то $\tg y = \tg x$.

Рассмотрим два варианта для $\tg x$:

А) $\tg x = 1$. Тогда и $\tg y = 1$.

$x = \frac{\pi}{4} + p\pi, y = \frac{\pi}{4} + q\pi$ для $p,q \in Z$.

Проверим второе уравнение: $\sin x \cos y + \ctg x \tg y = \frac{1}{2}$.

$\sin(\frac{\pi}{4}+p\pi)\cos(\frac{\pi}{4}+q\pi) + (1)(1) = \frac{1}{2}$.

$(\frac{(-1)^p}{\sqrt{2}})(\frac{(-1)^q}{\sqrt{2}}) + 1 = \frac{1}{2} \implies \frac{(-1)^{p+q}}{2} + 1 = \frac{1}{2} \implies (-1)^{p+q} = -1$.

Это верно, если $p+q$ - нечетное число, т.е. $p$ и $q$ имеют разную четность.

Б) $\tg x = -1$. Тогда и $\tg y = -1$.

$x = \frac{3\pi}{4} + p\pi, y = \frac{3\pi}{4} + q\pi$ для $p,q \in Z$.

Проверим второе уравнение: $\sin x \cos y + \ctg x \tg y = \frac{1}{2}$.

$\sin(\frac{3\pi}{4}+p\pi)\cos(\frac{3\pi}{4}+q\pi) + (-1)(-1) = \frac{1}{2}$.

$(\frac{(-1)^p}{\sqrt{2}})(\frac{(-1)^{q+1}}{\sqrt{2}}) + 1 = \frac{1}{2} \implies \frac{(-1)^{p+q+1}}{2} + 1 = \frac{1}{2} \implies (-1)^{p+q+1} = -1$.

Это верно, если $p+q+1$ - нечетное число, т.е. $p+q$ - четное число, а значит $p$ и $q$ имеют одинаковую четность.

Ответ: $(x,y)$ принадлежат объединению двух множеств:
1) $x = \frac{\pi}{4} + p\pi, y = \frac{\pi}{4} + q\pi$, где $p, q$ - целые числа разной четности.
2) $x = \frac{3\pi}{4} + p\pi, y = \frac{3\pi}{4} + q\pi$, где $p, q$ - целые числа одинаковой четности.