Номер 1212, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1212. 1) $ \cos 7x \cos 13x = \cos x \cos 19x; $

2) $ \sin x \sin 5x = \sin 2x \sin 4x; $

3) $ \cos x \cos 3x = \frac{1}{2}; $

4) $ \sin x \sin 3x = \frac{1}{2}. $

1) $ \cos{7x}\cos{13x}=\cos{x}\cos{19x} $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}(\cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\alpha+\beta)}) $. Применим ее к обеим частям уравнения.

Левая часть: $ \cos{7x}\cos{13x} = \frac{1}{2}(\cos{(13x-7x)}+\cos{(13x+7x)}) = \frac{1}{2}(\cos{6x}+\cos{20x}) $.

Правая часть: $ \cos{x}\cos{19x} = \frac{1}{2}(\cos{(19x-x)}+\cos{(19x+x)}) = \frac{1}{2}(\cos{18x}+\cos{20x}) $.

Приравниваем полученные выражения:

$ \frac{1}{2}(\cos{6x}+\cos{20x}) = \frac{1}{2}(\cos{18x}+\cos{20x}) $

Умножим обе части на 2 и сократим $ \cos{20x} $:

$ \cos{6x}+\cos{20x} = \cos{18x}+\cos{20x} $

$ \cos{6x} = \cos{18x} $

$ \cos{18x} - \cos{6x} = 0 $

Теперь применим формулу разности косинусов: $ \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} $.

$ -2\sin{\frac{18x+6x}{2}}\sin{\frac{18x-6x}{2}} = 0 $

$ -2\sin{12x}\sin{6x} = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1) $ \sin{12x} = 0 \implies 12x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{12}, n \in Z $.

2) $ \sin{6x} = 0 \implies 6x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{6}, k \in Z $.

Заметим, что вторая серия корней $ x = \frac{\pi k}{6} = \frac{2\pi k}{12} $ является подмножеством первой серии $ x = \frac{\pi n}{12} $ (при четных $n=2k$). Таким образом, все решения описываются первой формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{12}, n \in Z $.

2) $ \sin{x}\sin{5x}=\sin{2x}\sin{4x} $

Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}(\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}) $. Применим ее к обеим частям уравнения.

Левая часть: $ \sin{x}\sin{5x} = \frac{1}{2}(\cos{(5x-x)}-\cos{(5x+x)}) = \frac{1}{2}(\cos{4x}-\cos{6x}) $.

Правая часть: $ \sin{2x}\sin{4x} = \frac{1}{2}(\cos{(4x-2x)}-\cos{(4x+2x)}) = \frac{1}{2}(\cos{2x}-\cos{6x}) $.

Приравниваем полученные выражения:

$ \frac{1}{2}(\cos{4x}-\cos{6x}) = \frac{1}{2}(\cos{2x}-\cos{6x}) $

$ \cos{4x}-\cos{6x} = \cos{2x}-\cos{6x} $

$ \cos{4x} = \cos{2x} $

$ \cos{4x} - \cos{2x} = 0 $

Применим формулу разности косинусов: $ \cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}} $.

$ -2\sin{\frac{4x+2x}{2}}\sin{\frac{4x-2x}{2}} = 0 $

$ -2\sin{3x}\sin{x} = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1) $ \sin{3x} = 0 \implies 3x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}, n \in Z $.

2) $ \sin{x} = 0 \implies x = \pi k, k \in Z $.

Вторая серия корней $ x = \pi k = \frac{3\pi k}{3} $ является подмножеством первой серии $ x = \frac{\pi n}{3} $ (при $n=3k$). Таким образом, все решения описываются первой формулой.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, n \in Z $.

3) $ \cos{x}\cos{3x}=\frac{1}{2} $

Применим формулу произведения косинусов $ \cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}(\cos{(\alpha-\beta)}+\cos{(\alpha+\beta)}) $.

$ \frac{1}{2}(\cos{(3x-x)}+\cos{(3x+x)}) = \frac{1}{2} $

$ \cos{2x}+\cos{4x} = 1 $

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos{4x} = 2\cos^2{2x}-1 $.

$ \cos{2x} + 2\cos^2{2x}-1 = 1 $

$ 2\cos^2{2x} + \cos{2x} - 2 = 0 $

Сделаем замену $ t = \cos{2x} $, при этом $ |t| \le 1 $.

$ 2t^2 + t - 2 = 0 $

Находим корни квадратного уравнения через дискриминант: $ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 1 + 16 = 17 $.

$ t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4} $

Проверим корни на соответствие условию $ |t| \le 1 $:

$ t_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4} $. Так как $ 4 < \sqrt{17} < 5 $, то $ \frac{3}{4} < \frac{-1+\sqrt{17}}{4} < 1 $. Этот корень подходит.

$ t_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4} $. Так как $ -5 < -\sqrt{17} < -4 $, то $ \frac{-1-5}{4} < \frac{-1-\sqrt{17}}{4} < \frac{-1-4}{4} $, т.е. $ -1.5 < t_2 < -1.25 $. Этот корень не подходит.

Возвращаемся к переменной $ x $:

$ \cos{2x} = \frac{\sqrt{17}-1}{4} $

$ 2x = \pm \arccos{\left(\frac{\sqrt{17}-1}{4}\right)} + 2\pi n, n \in Z $

$ x = \pm \frac{1}{2} \arccos{\left(\frac{\sqrt{17}-1}{4}\right)} + \pi n, n \in Z $

Ответ: $ x = \pm \frac{1}{2} \arccos{\left(\frac{\sqrt{17}-1}{4}\right)} + \pi n, n \in Z $.

4) $ \sin{x}\sin{3x}=\frac{1}{2} $

Применим формулу произведения синусов $ \sin{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}(\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}) $.

$ \frac{1}{2}(\cos{(3x-x)}-\cos{(3x+x)}) = \frac{1}{2} $

$ \cos{2x}-\cos{4x} = 1 $

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos{4x} = 2\cos^2{2x}-1 $.

$ \cos{2x} - (2\cos^2{2x}-1) = 1 $

$ \cos{2x} - 2\cos^2{2x} + 1 = 1 $

$ \cos{2x} - 2\cos^2{2x} = 0 $

$ \cos{2x}(1-2\cos{2x}) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $ \cos{2x} = 0 $

$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z $

2) $ 1-2\cos{2x} = 0 $

$ \cos{2x} = \frac{1}{2} $

$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z $

$ x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, $ где $ n, k \in Z $.