Номер 1208, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1208. 1) $1 - \cos(\pi - x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) = 0;$

2) $\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = (\sin x + \cos x)^2;$

3) $1 + \cos x = \cot\frac{x}{2};$

4) $\sin x + \tan\frac{x}{2} = 0.$

1) Решим уравнение $1 - \cos(\pi - x) + \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}) = 0$.
Применим формулы приведения: $\cos(\pi - x) = -\cos x$ и $\sin(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}) = \cos(\frac{x}{2})$.
Уравнение примет вид:
$1 - (-\cos x) + \cos(\frac{x}{2}) = 0$
$1 + \cos x + \cos(\frac{x}{2}) = 0$
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2}) - 1$:
$1 + (2\cos^2(\frac{x}{2}) - 1) + \cos(\frac{x}{2}) = 0$
$2\cos^2(\frac{x}{2}) + \cos(\frac{x}{2}) = 0$
Вынесем $\cos(\frac{x}{2})$ за скобки:
$\cos(\frac{x}{2})(2\cos(\frac{x}{2}) + 1) = 0$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $\cos(\frac{x}{2}) = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $2\cos(\frac{x}{2}) + 1 = 0 \implies \cos(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{2} \implies \frac{x}{2} = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n \implies \frac{x}{2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}.$

2) Решим уравнение $\sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{4}) = (\sin x + \cos x)^2$.
Преобразуем левую часть по формуле косинуса разности:
$\sqrt{2}(\cos x \cos\frac{\pi}{4} + \sin x \sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \cos x + \sin x$.
Уравнение принимает вид:
$\sin x + \cos x = (\sin x + \cos x)^2$.
Сделаем замену $t = \sin x + \cos x$.
$t = t^2 \implies t^2 - t = 0 \implies t(t-1) = 0$.
Возвращаемся к переменной $x$:
1) $t=0 \implies \sin x + \cos x = 0$. Так как значения $x$, при которых $\cos x = 0$, не являются решениями этого уравнения, разделим обе части на $\cos x \ne 0$:
$\tan x + 1 = 0 \implies \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $t=1 \implies \sin x + \cos x = 1$. Используем метод вспомогательного угла. Умножим обе части на $\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos\frac{\pi}{4}\sin x + \sin\frac{\pi}{4}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi n$
$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
- Если $n$ четное ($n=2m$): $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi m \implies x = 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.
- Если $n$ нечетное ($n=2m+1$): $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi(2m+1) \implies x = -\frac{\pi}{2} + (2m+1)\pi = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad x = 2\pi k, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

3) Решим уравнение $1 + \cos x = \text{ctg}(\frac{x}{2})$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $\sin(\frac{x}{2}) \ne 0 \implies \frac{x}{2} \ne \pi k \implies x \ne 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используем формулу косинуса двойного угла $1 + \cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$ и определение котангенса $\text{ctg}(\frac{x}{2}) = \frac{\cos(x/2)}{\sin(x/2)}$.
$2\cos^2(\frac{x}{2}) = \frac{\cos(\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})}$
$2\cos^2(\frac{x}{2}) - \frac{\cos(\frac{x}{2})}{\sin(\frac{x}{2})} = 0$
$\cos(\frac{x}{2}) \left( 2\cos(\frac{x}{2}) - \frac{1}{\sin(\frac{x}{2})} \right) = 0$
Получаем два случая:
1) $\cos(\frac{x}{2}) = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $\sin(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \pm 1 \ne 0$.
2) $2\cos(\frac{x}{2}) - \frac{1}{\sin(\frac{x}{2})} = 0 \implies 2\cos(\frac{x}{2})\sin(\frac{x}{2}) = 1$.
Используя формулу синуса двойного угла $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$, получаем $\sin x = 1$.
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$. Это решение также удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$

4) Решим уравнение $\sin x + \text{tg}(\frac{x}{2}) = 0$.
ОДЗ: $\cos(\frac{x}{2}) \ne 0 \implies \frac{x}{2} \ne \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x \ne \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используем формулы половинного угла: $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$ и $\text{tg}(\frac{x}{2}) = \frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}$.
$2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) + \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})} = 0$
Вынесем $\sin(\frac{x}{2})$ за скобки:
$\sin(\frac{x}{2}) \left( 2\cos(\frac{x}{2}) + \frac{1}{\cos(\frac{x}{2})} \right) = 0$
Получаем два случая:
1) $\sin(\frac{x}{2}) = 0 \implies \frac{x}{2} = \pi n \implies x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $\cos(\pi n) = \pm 1 \ne 0$.
2) $2\cos(\frac{x}{2}) + \frac{1}{\cos(\frac{x}{2})} = 0$. Умножим на $\cos(\frac{x}{2}) \ne 0$:
$2\cos^2(\frac{x}{2}) + 1 = 0 \implies \cos^2(\frac{x}{2}) = -\frac{1}{2}$. Данное уравнение не имеет действительных решений.
Следовательно, решением исходного уравнения является только первая серия корней.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}.$