Номер 1211, страница 346 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1211. 1) $ \cos^2 x + \cos^2 2x = \cos^2 3x; $

2) $ \cos^2 x + \cos^2 2x + \cos^2 3x = \frac{3}{2}; $

3) $ \cos^2 2x + \cos^2 3x + \cos^2 4x + \cos^2 5x = 2; $

4) $ \sin^2 x + \sin^2 2x = \sin^2 3x + \sin^2 4x. $

1) $ \cos^2x + \cos^22x = \cos^23x $

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.
Применим эту формулу к каждому члену уравнения:$ \frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(4x)}{2} = \frac{1 + \cos(6x)}{2} $
Умножим обе части уравнения на 2:$ 1 + \cos(2x) + 1 + \cos(4x) = 1 + \cos(6x) $
$ 1 + \cos(2x) + \cos(4x) = \cos(6x) $
Перенесем все члены в одну сторону и преобразуем:$ \cos(6x) - \cos(2x) - (\cos(4x) + 1) = 0 $
Воспользуемся формулой разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $ и формулой косинуса двойного угла $ 1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha $.$ -2\sin\frac{6x+2x}{2}\sin\frac{6x-2x}{2} - 2\cos^2(2x) = 0 $
$ -2\sin(4x)\sin(2x) - 2\cos^2(2x) = 0 $
Разложим $ \sin(4x) $ по формуле синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:$ -2(2\sin(2x)\cos(2x))\sin(2x) - 2\cos^2(2x) = 0 $
$ -4\sin^2(2x)\cos(2x) - 2\cos^2(2x) = 0 $
Вынесем общий множитель $ -2\cos(2x) $ за скобки:$ -2\cos(2x)(2\sin^2(2x) + \cos(2x)) = 0 $
Это уравнение распадается на два:
1. $ \cos(2x) = 0 $
$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $

2. $ 2\sin^2(2x) + \cos(2x) = 0 $
Используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x) $:$ 2(1 - \cos^2(2x)) + \cos(2x) = 0 $
$ 2 - 2\cos^2(2x) + \cos(2x) = 0 $
$ 2\cos^2(2x) - \cos(2x) - 2 = 0 $
Сделаем замену $ t = \cos(2x) $, где $ |t| \le 1 $:$ 2t^2 - t - 2 = 0 $
Решим квадратное уравнение:$ t = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4} $
Получаем два значения для $ t $:$ t_1 = \frac{1 + \sqrt{17}}{4} $. Так как $ \sqrt{17} > \sqrt{16} = 4 $, то $ 1 + \sqrt{17} > 5 $, и $ t_1 > \frac{5}{4} > 1 $. Этот корень является посторонним.$ t_2 = \frac{1 - \sqrt{17}}{4} $. Так как $ 4 < \sqrt{17} < 5 $, то $ -4 < 1 - \sqrt{17} < -3 $, и $ -1 < t_2 < -\frac{3}{4} $. Это значение удовлетворяет условию $ |t| \le 1 $.Возвращаемся к замене:$ \cos(2x) = \frac{1 - \sqrt{17}}{4} $
$ 2x = \pm \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{17}}{4}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{17}}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad x = \pm \frac{1}{2} \arccos\left(\frac{1 - \sqrt{17}}{4}\right) + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos^2x + \cos^22x + \cos^23x = \frac{3}{2} $

Используем формулу понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $:$ \frac{1 + \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(4x)}{2} + \frac{1 + \cos(6x)}{2} = \frac{3}{2} $
Умножим обе части на 2:$ 1 + \cos(2x) + 1 + \cos(4x) + 1 + \cos(6x) = 3 $
$ 3 + \cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) = 3 $
$ \cos(2x) + \cos(4x) + \cos(6x) = 0 $
Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:$ (\cos(6x) + \cos(2x)) + \cos(4x) = 0 $
$ 2\cos\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2} + \cos(4x) = 0 $
$ 2\cos(4x)\cos(2x) + \cos(4x) = 0 $
Вынесем общий множитель $ \cos(4x) $ за скобки:$ \cos(4x)(2\cos(2x) + 1) = 0 $
Уравнение распадается на два:
1. $ \cos(4x) = 0 $
$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} $

2. $ 2\cos(2x) + 1 = 0 $
$ \cos(2x) = -\frac{1}{2} $
$ 2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
$ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

3) $ \cos^22x + \cos^23x + \cos^24x + \cos^25x = 2 $

Используем формулу понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $:$ \frac{1+\cos(4x)}{2} + \frac{1+\cos(6x)}{2} + \frac{1+\cos(8x)}{2} + \frac{1+\cos(10x)}{2} = 2 $
Умножим обе части на 2:$ 1+\cos(4x) + 1+\cos(6x) + 1+\cos(8x) + 1+\cos(10x) = 4 $
$ 4 + \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) + \cos(10x) = 4 $
$ \cos(4x) + \cos(6x) + \cos(8x) + \cos(10x) = 0 $
Сгруппируем слагаемые: $ (\cos(10x) + \cos(4x)) + (\cos(8x) + \cos(6x)) = 0 $.
Применим формулу суммы косинусов $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:$ 2\cos\frac{10x+4x}{2}\cos\frac{10x-4x}{2} + 2\cos\frac{8x+6x}{2}\cos\frac{8x-6x}{2} = 0 $
$ 2\cos(7x)\cos(3x) + 2\cos(7x)\cos(x) = 0 $
Вынесем общий множитель $ 2\cos(7x) $ за скобки:$ 2\cos(7x)(\cos(3x) + \cos(x)) = 0 $
Снова применим формулу суммы косинусов ко второму множителю:$ 2\cos(7x)(2\cos\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}) = 0 $
$ 4\cos(7x)\cos(2x)\cos(x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1. $ \cos(7x) = 0 $
$ 7x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi k}{7}, \quad k \in \mathbb{Z} $

2. $ \cos(2x) = 0 $
$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z} $

3. $ \cos(x) = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
Ответ: $ x = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi k}{7}, \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ k, m, n \in \mathbb{Z} $.

4) $ \sin^2x + \sin^22x = \sin^23x + \sin^24x $

Используем формулу понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $:$ \frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(4x)}{2} = \frac{1 - \cos(6x)}{2} + \frac{1 - \cos(8x)}{2} $
Умножим обе части на 2:$ 1 - \cos(2x) + 1 - \cos(4x) = 1 - \cos(6x) + 1 - \cos(8x) $
$ 2 - \cos(2x) - \cos(4x) = 2 - \cos(6x) - \cos(8x) $
$ \cos(2x) + \cos(4x) = \cos(6x) + \cos(8x) $
Перенесем все члены в одну сторону:$ \cos(8x) - \cos(2x) + \cos(6x) - \cos(4x) = 0 $
Применим формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $ к обеим парам:$ -2\sin\frac{8x+2x}{2}\sin\frac{8x-2x}{2} - 2\sin\frac{6x+4x}{2}\sin\frac{6x-4x}{2} = 0 $
$ -2\sin(5x)\sin(3x) - 2\sin(5x)\sin(x) = 0 $
Вынесем общий множитель $ -2\sin(5x) $ за скобки:$ -2\sin(5x)(\sin(3x) + \sin(x)) = 0 $
Применим формулу суммы синусов $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} $:$ -2\sin(5x)(2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2}) = 0 $
$ -4\sin(5x)\sin(2x)\cos(x) = 0 $
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
1. $ \sin(5x) = 0 $
$ 5x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{5}, \quad k \in \mathbb{Z} $

2. $ \sin(2x) = 0 $
$ 2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z} $

3. $ \cos(x) = 0 $
$ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $
Заметим, что решения третьего уравнения являются частным случаем решений второго. Если $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, то $ 2x = \pi + 2\pi n = (2n+1)\pi $. Тогда $ \sin(2x) = \sin((2n+1)\pi) = 0 $. Поэтому достаточно указать только первые две серии решений.
Ответ: $ x = \frac{\pi k}{5}, \quad x = \frac{\pi m}{2} $, где $ k, m \in \mathbb{Z} $.