Номер 1199, страница 341 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1199. 1) $4\sin^4 x + \frac{1}{3}\cos^2 x = \frac{1}{2}$;

2) $16\cos^4 x + \sin^2 x = \frac{7}{4}$.

1) $4\sin^4 x + \frac{1}{3}\cos^2 x = \frac{1}{2}$

Решим данное тригонометрическое уравнение. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$4\sin^4 x + \frac{1}{3}(1 - \sin^2 x) = \frac{1}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin^2 x$. Поскольку $0 \le \sin^2 x \le 1$, то для переменной $t$ должно выполняться условие $0 \le t \le 1$.

Уравнение принимает вид:

$4t^2 + \frac{1}{3}(1 - t) = \frac{1}{2}$

Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot 4t^2 + 6 \cdot \frac{1}{3}(1 - t) = 6 \cdot \frac{1}{2}$

$24t^2 + 2(1 - t) = 3$

$24t^2 + 2 - 2t = 3$

$24t^2 - 2t - 1 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 24 \cdot (-1) = 4 + 96 = 100 = 10^2$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 10}{2 \cdot 24} = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 10}{2 \cdot 24} = \frac{-8}{48} = -\frac{1}{6}$

Проверим найденные корни на соответствие условию $0 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию.

Корень $t_2 = -\frac{1}{6}$ не удовлетворяет условию, так как $\sin^2 x$ не может быть отрицательным. Этот корень является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной $x$, подставляя $t_1$:

$\sin^2 x = \frac{1}{4}$

Для решения этого уравнения удобно использовать формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4}$

Умножим обе части на 2:

$1 - \cos(2x) = \frac{1}{2}$

$\cos(2x) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $16\cos^4 x + \sin^2 x = \frac{7}{4}$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Подставим это в уравнение:

$16\cos^4 x + (1 - \cos^2 x) = \frac{7}{4}$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \cos^2 x$. Учитывая, что $0 \le \cos^2 x \le 1$, получаем условие $0 \le y \le 1$.

Уравнение примет вид:

$16y^2 - y + 1 = \frac{7}{4}$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$16y^2 - y + 1 - \frac{7}{4} = 0$

$16y^2 - y - \frac{3}{4} = 0$

Умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:

$64y^2 - 4y - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 64 \cdot (-3) = 16 + 768 = 784 = 28^2$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 28}{2 \cdot 64} = \frac{32}{128} = \frac{1}{4}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 28}{2 \cdot 64} = \frac{-24}{128} = -\frac{3}{16}$

Проверим корни на соответствие условию $0 \le y \le 1$.

Корень $y_1 = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию.

Корень $y_2 = -\frac{3}{16}$ не удовлетворяет условию, так как $\cos^2 x$ не может быть отрицательным. Это посторонний корень.

Выполним обратную замену:

$\cos^2 x = \frac{1}{4}$

Для решения этого уравнения применим формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$:

$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4}$

Умножим обе части на 2:

$1 + \cos(2x) = \frac{1}{2}$

$\cos(2x) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$

Находим $2x$:

$2x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Разделим на 2, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$