Номер 1192, страница 341 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (1192—1200).

1192. 1) $\sin^2 x = \frac{1}{4}$;

2) $\cos^2 x = \frac{1}{2}$;

3) $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$;

4) $2\cos^2 x + \cos x - 6 = 0$.

1) Дано уравнение $\sin^2 x = \frac{1}{4}$.
Воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.
Подставим в исходное уравнение:
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{4}$
$1 - \cos(2x) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\cos(2x) = 1 - \frac{1}{2}$
$\cos(2x) = \frac{1}{2}$
Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решение имеет вид:
$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дано уравнение $\cos^2 x = \frac{1}{2}$.
Воспользуемся формулой понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.
Подставим в исходное уравнение:
$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}$
$1 + \cos(2x) = 1$
$\cos(2x) = 0$
Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Дано уравнение $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений синуса $[-1, 1]$, то $|t| \le 1$.
Получаем квадратное уравнение: $2t^2 + t - 1 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 3}{4}$.
$t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$.
Выполним обратную замену:
a) $\sin x = \frac{1}{2}$. Решение: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
b) $\sin x = -1$. Решение (частный случай): $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Общее решение является объединением этих двух серий корней.
Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Дано уравнение $2\cos^2 x + \cos x - 6 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Так как область значений косинуса $[-1, 1]$, то $|t| \le 1$.
Получаем квадратное уравнение: $2t^2 + t - 6 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$.
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 7}{4}$.
$t_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$.
$t_2 = \frac{-1 - 7}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.
Проверим, удовлетворяют ли корни условию $|t| \le 1$.
$|t_1| = 1.5 > 1$, следовательно, уравнение $\cos x = 1.5$ не имеет решений.
$|t_2| = |-2| = 2 > 1$, следовательно, уравнение $\cos x = -2$ не имеет решений.
Таким образом, исходное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.