Номер 1190, страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1190. Вычислить:

1) $\text{arcctg}\left(\text{ctg}\frac{5\pi}{6}\right);$

2) $\text{arcctg}\left(\text{ctg}\frac{3\pi}{4}\right);$

3) $\text{arcctg}\left(2\text{sin}\frac{\pi}{3}\right).$

1) Для вычисления данного выражения воспользуемся свойством, связывающим арктангенс и котангенс. Общая формула для $arctg(ctg(x))$ имеет вид $arctg(ctg(x)) = \frac{\pi}{2} - x$, если $x$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$. В данном случае $x = \frac{5\pi}{6}$, и это значение входит в указанный интервал.
Однако, более универсальный метод — использование формулы приведения $ctg(x) = tg(\frac{\pi}{2} - x)$.
Подставим это в исходное выражение:
$arctg(ctg(\frac{5\pi}{6})) = arctg(tg(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{6}))$
Вычислим значение в скобках:
$\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} = -\frac{\pi}{3}$
Таким образом, выражение принимает вид:
$arctg(tg(-\frac{\pi}{3}))$
Поскольку значение $-\frac{\pi}{3}$ принадлежит области значений арктангенса, которая равна $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то по определению $arctg(tg(y)) = y$ для $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Следовательно, $arctg(tg(-\frac{\pi}{3})) = -\frac{\pi}{3}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{3}$

2) Решим этот пример аналогично первому, используя тождество $ctg(x) = tg(\frac{\pi}{2} - x)$.
$arctg(ctg(\frac{3\pi}{4})) = arctg(tg(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4}))$
Вычислим аргумент тангенса:
$\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$
Получаем выражение:
$arctg(tg(-\frac{\pi}{4}))$
Так как угол $-\frac{\pi}{4}$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, который является областью значений арктангенса, то $arctg(tg(-\frac{\pi}{4})) = -\frac{\pi}{4}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

3) Сначала вычислим выражение, стоящее под знаком арктангенса.
Значение синуса для угла $\frac{\pi}{3}$ является табличным: $sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Тогда $2sin(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Теперь исходное выражение можно переписать как:
$arctg(\sqrt{3})$
По определению арктангенса, нам нужно найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$.
Этим углом является $\frac{\pi}{3}$, так как $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ и $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$