Номер 1186, страница 336 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1186. Найти наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения $3\tan x - \sqrt{3} = 0$.

Для решения задачи сначала найдём общее решение уравнения $3\tg x - \sqrt{3} = 0$.

1. Выразим $\tg x$ из уравнения:

$3\tg x = \sqrt{3}$

$\tg x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

2. Найдём общее решение для $x$. Общая формула для уравнений вида $\tg x = a$ выглядит как $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

В нашем случае $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$, а $\text{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Следовательно, общее решение уравнения:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь, используя эту формулу, найдём требуемые корни.

Наименьший положительный корень

Чтобы найти наименьший положительный корень, будем перебирать целые значения $n$, начиная с $n=0$, и искать наименьший корень $x > 0$.

При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{6}$.

Это значение является положительным. При любом $n > 0$ корни также будут положительными, но большими, чем $\frac{\pi}{6}$ (например, при $n=1$, $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$). При любых $n < 0$ корни будут отрицательными.

Таким образом, наименьший положительный корень уравнения — это $\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

Наибольший отрицательный корень

Чтобы найти наибольший отрицательный корень, будем перебирать отрицательные целые значения $n$ и искать наибольший корень $x < 0$. Наибольшим отрицательным числом является то, которое ближе всего к нулю.

При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot (-1) = \frac{\pi}{6} - \pi = \frac{\pi - 6\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$.

Это отрицательный корень. Проверим следующее целое значение $n$.

При $n = -2$: $x = \frac{\pi}{6} + \pi \cdot (-2) = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$.

Сравнивая полученные отрицательные корни, видим, что $-\frac{5\pi}{6} > -\frac{11\pi}{6}$.

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения — это $-\frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{6}$.