Номер 1179, страница 332 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1179. Доказать, что если $0 \le a \le 1$, то $2\arcsin a = \arccos(1-2a^2)$.

Для доказательства данного тождества введем замену. Пусть $\alpha = \arcsin a$.

По определению арксинуса, это означает, что $\sin \alpha = a$ и главное значение угла $\alpha$ лежит в диапазоне $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Согласно условию задачи, $0 \le a \le 1$. Найдем, в каком диапазоне находится $\alpha$ при этом условии:

• Если $a=0$, то $\alpha = \arcsin 0 = 0$.
• Если $a=1$, то $\alpha = \arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.

Поскольку функция $\arcsin a$ является возрастающей, для всех $a$ в отрезке $[0, 1]$ соответствующий угол $\alpha$ будет находиться в отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $2\arcsin a = 2\alpha$. Так как $0 \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$, то для левой части справедливо неравенство $0 \le 2\alpha \le \pi$.

Правая часть равенства, $\arccos(1-2a^2)$, по определению арккосинуса, также принимает значения в отрезке $[0, \pi]$.

Поскольку обе части доказываемого равенства принадлежат отрезку $[0, \pi]$, на котором функция косинус является взаимно-однозначной (инъективной), мы можем доказать равенство, показав, что косинусы обеих частей равны.

Найдем косинус левой части, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$:

$\cos(2\arcsin a) = \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Так как $\sin\alpha = a$, то:

$\cos(2\arcsin a) = 1 - 2a^2$.

Теперь найдем косинус правой части. По определению арккосинуса, $\cos(\arccos x) = x$ для всех $x \in [-1, 1]$. Проверим, принадлежит ли выражение $1-2a^2$ этому отрезку.

Из условия $0 \le a \le 1$ следует, что $0 \le a^2 \le 1$. Умножая на 2, получаем $0 \le 2a^2 \le 2$. Умножая на -1, меняем знаки неравенства: $-2 \le -2a^2 \le 0$. Прибавляя 1 ко всем частям, получаем: $1-2 \le 1-2a^2 \le 1+0$, то есть $-1 \le 1-2a^2 \le 1$.

Так как аргумент арккосинуса находится в допустимом диапазоне, мы можем написать:

$\cos(\arccos(1-2a^2)) = 1-2a^2$.

Мы получили, что косинусы левой и правой частей исходного выражения равны:

$\cos(2\arcsin a) = \cos(\arccos(1-2a^2)) = 1-2a^2$.

Так как $2\arcsin a \in [0, \pi]$ и $\arccos(1-2a^2) \in [0, \pi]$, и их косинусы равны, то и сами выражения равны.

Следовательно, $2\arcsin a = \arccos(1-2a^2)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано. При $0 \le a \le 1$ равенство $2\arcsin a = \arccos(1-2a^2)$ является верным.