Номер 1174, страница 332 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1174. Доказать, что $ \arcsin(\sin \alpha) = \alpha $ при $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $. Вычислить:

1) $ 7 \arcsin \left(\sin \frac{\pi}{7}\right) $

2) $ 4 \arcsin \left(\sin \frac{1}{2}\right) $

3) $ \arcsin \left(\sin \frac{6\pi}{7}\right) $

4) $ \arcsin(\sin 5) $

Доказательство тождества $ \arcsin(\sin\alpha) = \alpha $ при $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $
По определению, арксинус числа $x$ (обозначается $ \arcsin(x) $) — это угол $y$, синус которого равен $x$, причем этот угол находится в диапазоне от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. То есть, если $y = \arcsin(x)$, то выполняются два условия:
1. $\sin(y) = x$
2. $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$

Рассмотрим выражение $y = \arcsin(\sin\alpha)$. Применив к нему определение арксинуса (здесь роль $x$ играет $\sin\alpha$), получим:
1. $\sin(y) = \sin(\alpha)$
2. $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$

Из условия задачи мы знаем, что угол $\alpha$ также принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Функция $f(t) = \sin(t)$ является строго возрастающей на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Это означает, что на этом отрезке каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента. Поскольку $\sin(y) = \sin(\alpha)$ и оба угла, $y$ и $\alpha$, лежат в отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, из этого с необходимостью следует, что $y = \alpha$. Таким образом, мы доказали, что $\arcsin(\sin\alpha) = \alpha$ при $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

1) Вычислить $7\arcsin(\sin\frac{\pi}{7})$
Аргумент синуса, $\alpha = \frac{\pi}{7}$. Проверим, попадает ли этот угол в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Так как $0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$ (поскольку $0 < 1/7 < 1/2$), то условие $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{7} \le \frac{\pi}{2}$ выполняется.
Следовательно, мы можем применить доказанное тождество: $\arcsin(\sin\frac{\pi}{7}) = \frac{\pi}{7}$.
Тогда исходное выражение равно: $7 \cdot \frac{\pi}{7} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

2) Вычислить $4\arcsin(\sin\frac{1}{2})$
Аргумент синуса, $\alpha = \frac{1}{2}$ радиан. Проверим, попадает ли это значение в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$. Тогда $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
Значение $\frac{1}{2} = 0.5$ находится в интервале $[-1.57, 1.57]$.
Значит, условие $-\frac{\pi}{2} \le \frac{1}{2} \le \frac{\pi}{2}$ выполнено, и мы можем применить тождество: $\arcsin(\sin\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
Тогда исходное выражение равно: $4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.
Ответ: $2$.

3) Вычислить $\arcsin(\sin\frac{6\pi}{7})$
Аргумент синуса, $\alpha = \frac{6\pi}{7}$. Проверим, попадает ли этот угол в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Сравним $\frac{6\pi}{7}$ с $\frac{\pi}{2}$. Это эквивалентно сравнению $\frac{6}{7}$ с $\frac{1}{2}$. Так как $6 \cdot 2 = 12$, а $7 \cdot 1 = 7$, то $12 > 7$, следовательно, $\frac{6}{7} > \frac{1}{2}$ и $\frac{6\pi}{7} > \frac{\pi}{2}$.
Угол $\frac{6\pi}{7}$ не принадлежит области значений арксинуса. Необходимо найти другой угол $\beta$, такой, что $\sin(\beta) = \sin(\frac{6\pi}{7})$ и $-\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2}$.
Используем формулу приведения $\sin(x) = \sin(\pi - x)$.
$\sin(\frac{6\pi}{7}) = \sin(\pi - \frac{6\pi}{7}) = \sin(\frac{7\pi - 6\pi}{7}) = \sin(\frac{\pi}{7})$.
Угол $\beta = \frac{\pi}{7}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, как было показано в пункте 1.
Следовательно, $\arcsin(\sin\frac{6\pi}{7}) = \arcsin(\sin\frac{\pi}{7}) = \frac{\pi}{7}$.
Ответ: $\frac{\pi}{7}$.

4) Вычислить $\arcsin(\sin 5)$
Аргумент синуса, $\alpha = 5$ радиан. Проверим, попадает ли это значение в отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
Приближенно, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. Так как $5 > 1.57$, то угол $5$ не принадлежит области значений арксинуса.
Нам нужно найти такой угол $\beta$, что $\sin(\beta) = \sin(5)$ и $-\frac{\pi}{2} \le \beta \le \frac{\pi}{2}$.
Известно, что синус - периодическая функция с периодом $2\pi$, то есть $\sin(x) = \sin(x+2k\pi)$ для любого целого $k$.
Рассмотрим угол $5 - 2\pi$.
Приближенные значения: $2\pi \approx 6.28$, $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$.
$5 - 2\pi \approx 5 - 6.28 = -1.28$.
Это значение находится в отрезке $[-1.57, 1.57]$, т.е. $-\frac{\pi}{2} \le 5 - 2\pi \le \frac{\pi}{2}$.
Так как $\sin(5) = \sin(5 - 2\pi)$ и угол $5-2\pi$ лежит в нужном диапазоне, то:
$\arcsin(\sin 5) = \arcsin(\sin(5 - 2\pi)) = 5 - 2\pi$.
Ответ: $5 - 2\pi$.