Номер 1167, страница 332 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1167. Выяснить, имеет ли смысл выражение:

1) $\arcsin(\sqrt{5} - 2);$

2) $\arcsin(\sqrt{5} - 3);$

3) $\arcsin(3 - \sqrt{17});$

4) $\arcsin(2 - \sqrt{10});$

5) $\operatorname{tg}\left(6\arcsin\frac{1}{2}\right);$

6) $\operatorname{tg}\left(2\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

1) $\arcsin(\sqrt{5}-2)$

Выражение $\arcsin(x)$ имеет смысл, если его аргумент $x$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$, то есть выполняется неравенство $-1 \le x \le 1$.

В данном случае $x = \sqrt{5}-2$. Проверим, выполняется ли для него это условие.

Оценим значение $\sqrt{5}$. Известно, что $4 < 5 < 9$, следовательно, $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, что дает $2 < \sqrt{5} < 3$.

Теперь оценим выражение $\sqrt{5}-2$, вычитая 2 из всех частей неравенства: $2 - 2 < \sqrt{5} - 2 < 3 - 2$, что приводит к $0 < \sqrt{5} - 2 < 1$.

Поскольку значение $\sqrt{5} - 2$ находится в интервале $(0; 1)$, оно также принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

2) $\arcsin(\sqrt{5}-3)$

Аналогично предыдущему пункту, выражение $\arcsin(x)$ имеет смысл при $-1 \le x \le 1$.

Здесь $x = \sqrt{5}-3$. Снова используем оценку $2 < \sqrt{5} < 3$.

Вычтем 3 из всех частей неравенства: $2 - 3 < \sqrt{5} - 3 < 3 - 3$, что дает $-1 < \sqrt{5} - 3 < 0$.

Значение $\sqrt{5} - 3$ находится в интервале $(-1; 0)$, который является частью отрезка $[-1; 1]$. Следовательно, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

3) $\arcsin(3-\sqrt{17})$

Проверяем условие $-1 \le 3-\sqrt{17} \le 1$.

Оценим значение $\sqrt{17}$. Известно, что $16 < 17 < 25$, следовательно, $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, что дает $4 < \sqrt{17} < 5$.

Умножим неравенство на -1, изменив знаки неравенства на противоположные: $-5 < -\sqrt{17} < -4$.

Прибавим 3 ко всем частям: $3 - 5 < 3 - \sqrt{17} < 3 - 4$, что дает $-2 < 3 - \sqrt{17} < -1$.

Значение $3 - \sqrt{17}$ находится в интервале $(-2; -1)$, который не пересекается с отрезком $[-1; 1]$. Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

4) $\arcsin(2-\sqrt{10})$

Проверяем условие $-1 \le 2-\sqrt{10} \le 1$.

Оценим значение $\sqrt{10}$. Известно, что $9 < 10 < 16$, следовательно, $\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$, что дает $3 < \sqrt{10} < 4$.

Умножим на -1: $-4 < -\sqrt{10} < -3$.

Прибавим 2: $2 - 4 < 2 - \sqrt{10} < 2 - 3$, что дает $-2 < 2 - \sqrt{10} < -1$.

Значение $2 - \sqrt{10}$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

5) $\text{tg}(6\arcsin\frac{1}{2})$

Выражение $\text{tg}(y)$ имеет смысл, если его аргумент $y$ не равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Сначала найдем значение аргумента тангенса. Известно, что $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Тогда аргумент тангенса равен $y = 6 \cdot \arcsin\frac{1}{2} = 6 \cdot \frac{\pi}{6} = \pi$.

Теперь проверим, определен ли $\text{tg}(\pi)$. Значение $\pi$ не представимо в виде $\frac{\pi}{2} + \pi k$ для целого $k$ (если $\pi = \frac{\pi}{2} + \pi k$, то $1 = \frac{1}{2} + k$, откуда $k = \frac{1}{2}$, что не является целым числом). Следовательно, $\text{tg}(\pi)$ определен (и равен 0). Таким образом, выражение имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

6) $\text{tg}(2\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2})$

Выражение $\text{tg}(y)$ имеет смысл, если $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем значение аргумента тангенса. Известно, что $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.

Тогда аргумент тангенса равен $y = 2 \cdot \arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Это значение совпадает с видом $\frac{\pi}{2} + \pi k$ при $k=0$. В этой точке функция тангенса не определена.

Следовательно, выражение не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.