Номер 1164, страница 331 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1164. 1) $\sin x = \frac{2}{7}$;

2) $\sin x = -\frac{1}{4}$;

3) $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

1)

Дано тригонометрическое уравнение $\sin x = \frac{2}{7}$.

Общая формула для решения уравнения вида $\sin x = a$, где $|a| \le 1$, выглядит следующим образом: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ ( $k$ — любое целое число).

В данном случае $a = \frac{2}{7}$. Сначала проверим, выполняется ли условие $|a| \le 1$: $|\frac{2}{7}| = \frac{2}{7}$. Так как $2 < 7$, то $\frac{2}{7} < 1$. Условие выполняется, значит, уравнение имеет решения.

Число $\frac{2}{7}$ не является стандартным табличным значением для синуса, поэтому решение выражается через арксинус этого числа.

Подставляем $a = \frac{2}{7}$ в общую формулу: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{2}{7}\right) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{2}{7}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение $\sin x = -\frac{1}{4}$.

Используем ту же общую формулу для решения: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = -\frac{1}{4}$. Проверим условие $|a| \le 1$: $|-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} \le 1$. Условие выполняется.

Применим свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-y) = -\arcsin(y)$. Таким образом, $\arcsin\left(-\frac{1}{4}\right) = -\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)$.

Подставим это в общую формулу: $x = (-1)^k \left(-\arcsin\left(\frac{1}{4}\right)\right) + \pi k$.

Вынесем минус за скобки: $x = -1 \cdot (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим: $x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3)

Дано уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Общая формула решения: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В этом случае $a = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Проверим условие $|a| \le 1$. Поскольку значение положительное, нам нужно проверить, что $\frac{\sqrt{5}}{3} \le 1$.

Сравним $\sqrt{5}$ и $3$. Для этого возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$ и $3^2 = 9$.

Так как $5 < 9$, то и $\sqrt{5} < 3$. Следовательно, $\frac{\sqrt{5}}{3} < 1$. Условие выполняется, и уравнение имеет решения.

Значение $\frac{\sqrt{5}}{3}$ не является табличным, поэтому оставляем решение в виде арксинуса.

Подставляем $a$ в общую формулу: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.