Номер 1169, страница 332 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

1169. 1) $1 + \cos(5x) \sin(4x) = \cos(4x) \sin(5x);$

2) $1 - \sin(x) \cos(2x) = \cos(x) \sin(2x).$

1)

Дано тригонометрическое уравнение:

$1 + \cos(5x)\sin(4x) = \cos(4x)\sin(5x)$

Перенесем слагаемое $\cos(5x)\sin(4x)$ из левой части в правую, изменив его знак:

$1 = \cos(4x)\sin(5x) - \cos(5x)\sin(4x)$

В правой части уравнения мы видим выражение, которое соответствует формуле синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

В нашем случае $\alpha = 5x$ и $\beta = 4x$. Применим эту формулу к правой части уравнения:

$1 = \sin(5x - 4x)$

Упростим выражение в аргументе синуса:

$1 = \sin(x)$

Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение. Решение для уравнения $\sin(x) = 1$ известно. Это происходит, когда угол $x$ равен $\frac{\pi}{2}$ плюс любое целое число полных оборотов ($2\pi$).

Таким образом, общее решение уравнения:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано тригонометрическое уравнение:

$1 - \sin(x)\cos(2x) = \cos(x)\sin(2x)$

Перенесем слагаемое $\sin(x)\cos(2x)$ из левой части в правую, изменив его знак:

$1 = \cos(x)\sin(2x) + \sin(x)\cos(2x)$

В правой части уравнения мы видим выражение, которое соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$.

В нашем случае можно положить $\alpha = 2x$ и $\beta = x$. Применим эту формулу к правой части уравнения:

$1 = \sin(2x + x)$

Упростим выражение в аргументе синуса:

$1 = \sin(3x)$

Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение. Решим его для аргумента $3x$. Уравнение $\sin(\theta) = 1$ имеет общее решение $\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ - любое целое число.

Применим это к нашему случаю:

$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части равенства на 3:

$x = \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}{3}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.