Номер 1163, страница 331 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить уравнение (1163–1166).

1163.

1) $ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $;

2) $ \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} $;

3) $ \sin x = - \frac{1}{\sqrt{2}} $.

1) $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin x = a$. Общее решение такого уравнения записывается по формуле:

$x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (Z — множество целых чисел).

В данном случае $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Значение $a$ находится в пределах от -1 до 1, поэтому уравнение имеет решения.

Найдем главное значение арксинуса. Арксинус числа $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Из таблицы стандартных тригонометрических значений мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Следовательно, $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставим это значение в общую формулу для решения:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Данное уравнение также решается с помощью общей формулы для синуса:

$x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Здесь $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найдем главное значение арксинуса. $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это табличное значение: $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

Подставим найденное значение в общую формулу:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

Сначала преобразуем правую часть уравнения, избавившись от иррациональности в знаменателе дроби:

$-\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, уравнение принимает вид: $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Снова воспользуемся общей формулой решения: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для нахождения арксинуса отрицательного числа используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$.

$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Так как из предыдущего примера мы знаем, что $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставим это значение в общую формулу:

$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эту запись можно упростить, используя свойство степеней $(-1)^k \cdot (-1) = (-1)^{k+1}$.

$x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.